同态加密的基本概念

所谓的加密，其实是明文空间到密文空间的映射关系。明文空间里面的元素，叫做明文，是我们想要保护的信息，通常会含有一些特殊的信息。常见的明文有图像，视频、个人资料等等。明文空间里面的元素，我们通常叫做密文，是用来保护明文的。对于一个安全的加密来说，如果不知道解密密钥，密文应该是十分接近随机数，其分布在密文空间应该是均匀随机的。密文本身不应该含有明文的任何信息，也就是语义安全性。

同态加密是一种特殊的加密方法。他可以允许我们直接对密文进行运算，其解密后的结果就是对应明文运算后的结果。这对于隐私计算是一个非常好用的工具，使得很多隐私计算协议变得简单直接。

假设加密函数为$c=\mathtt{En}(m,P_k)$，输入为明文$m$和加密密钥（通常是公钥）$P_k$.输出一个密文$c$.
解密函数为$m=\mathtt{De}(c,S_k)$，输入为密文$c$和解密密钥$S_k$.
加法同态是说$m_1+m_2=\mathtt{De}(\mathtt{En}(m_1,P_k)⨁\mathtt{En}(m_2,P_k),S_k)$. 其中$⨁$是定义的两个密文的加法。
乘法同态是说$m_1\times m_2=\mathtt{De}(\mathtt{En}(m_1,P_k)⨂\mathtt{En}(m_2,P_k),S_k)$.其中$⨂$是定义的两个密文的乘法。

OpenFHE是一个比较成熟的使用C++写的同态加密库[1]，实现了基于RLWE的常见的同态加密方案，包括BGV [2]，BFV [3]，CKKS [4]，FHEW/TFHE [5]. 具体实现的版本是剩余整数系统（RNS）变体，也就是使用64位的整数去表示大整数。
支持的运算有公钥加密，私钥加密，同态加法，层级同态乘法，自举(bootstrapping)，密钥交换，最新的进展可以查阅他们的github网站OpenFHE github。

OpenFHE安装

OpenFHE 使用的是 Cmake 来组织编译，所以，在编译之前，首先需要确保你已经配置好了 Cmake 的环境。下面主要介绍在 linux 上安装的方法。

如果你的网络没有问题，那么安装是一件比较简单愉快的事情。
第一步要做的事情就是从 github 上下载源代码：

git clone https://github.com/openfheorg/openfhe-development.git

那么遇到没办法直接用命令下载怎么办呢？可能服务器暂时不支持访问 github 网站。这时候，你可以直接去OpenFHE github下载 ZIP 的压缩包。然后把压缩包上传到你的 linux 机器上。但是你会发现，下载压缩包的方法并不是很愉快的，如果编译的时候你的网络还是不能访问 github 的话，会出错。因为直接下载的 ZIP 里面的第三方依赖库没有自动下载。你会发现在目录 \openfhe-development-main\third-party\ 下的几个文件夹是空的。

下载 ZIP 压缩包 openfhe-development-main.zip 并上传到服务器。使用下面命令解压：

unzip openfhe-development-main.zip

然后进入下列路径：

cd openfhe-development-main/third-party

使用 ls 命令查看，里面有四个目录 cereal google-benchmark google-test gperftools, 这时候，如果这四个目录是空的，那么需要到 github 上下载。在OpenFHE github里面，找到 third-party目录，然后点进去，里面是4个链接。分别点进去下载 ZIP 压缩包，然后解压到对应的目录。

下面演示 cereal 的解压。首先将下载的 cerea-***.zip文件解压到对应目录

unzip -o cereal-your number.zip -d openfhe-development-main/third-party

然后进入 openfhe-development-main/third-party 目录，将解压后的文件改名为 cereal，（你应该先删除原来的 cereal 目录）
其他三个类似。

当源文件下载完成后，剩下的就比较简单了。
首先进入 OpenFHE 的源文件目录，然后使用 mkdir build 建立一个新的名叫 build 的文件夹，进入 build 文件夹.

cmake ../

生成编译的make文件。可以在 cmake 的时候指定最后安装的目录

cmake ../ -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=/my_path

然后你会看到输出里面有这句话：

***** INSTALL IS AT /my_path; to change, run cmake with -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=/your/path

然后在命令行继续输入

make 

这个命令会执行编译，将源文件编译为可执行文件和库。可以使用" -j"选项使用多线程编译，如" make -j4 ".
编译完成后，就可以将 OpenFHE 安装到常用路径了。

make install

如果你安装到默认路径 \usr\lcoal 那么你可能需要使用 sudo 命令才能安装 “sudo make install”.

安装成功测试

下面给出一个简单的测试源代码 test.cpp:

/*
test.cpp OpenFHE test code by zyf.
*/
#include<iostream>
#include"openfhe.h"
//The functions or classes of OpenFHE are in the namespace lbcrypto
using namespace lbcrypto;
using namespace std;
int main(){// set the parameters of bgvCCParams<CryptoContextBGVRNS> parameters;parameters.SetMultiplicativeDepth(0);parameters.SetPlaintextModulus(536903681);parameters.SetSecurityLevel(HEStd_128_classic);CryptoContext<DCRTPoly> cryptoContext = GenCryptoContext(parameters);cryptoContext->Enable(PKE);cryptoContext->Enable(KEYSWITCH);cryptoContext->Enable(LEVELEDSHE);KeyPair<DCRTPoly> keyPair;keyPair = cryptoContext->KeyGen();vector<int64_t> v1 = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12};cout<<"The original data is ";for(size_t i=0;i<v1.size();i++){cout<<v1[i]<<" ";}cout<<endl;Plaintext p1;p1=cryptoContext->MakePackedPlaintext(v1);Ciphertext<DCRTPoly> c1 = cryptoContext->Encrypt(keyPair.publicKey, p1);Plaintext p2;cryptoContext->Decrypt(keyPair.secretKey,c1,&p2);cout<<p2<<endl;
}

在test.cpp同一个目录添加 CMakeLists.txt 文件：

cmake_minimum_required (VERSION 3.5.1)
project(demo CXX)
set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)
option( BUILD_STATIC "Set to ON to include static versions of the library" OFF)
find_package(OpenFHE)
set( CMAKE_CXX_FLAGS ${OpenFHE_CXX_FLAGS} )
include_directories( ${OPENMP_INCLUDES} )
include_directories( ${OpenFHE_INCLUDE} )
include_directories( ${OpenFHE_INCLUDE}/third-party/include )
include_directories( ${OpenFHE_INCLUDE}/core )
include_directories( ${OpenFHE_INCLUDE}/pke )
### add directories for other OpenFHE modules as needed for your project
link_directories( ${OpenFHE_LIBDIR} )
link_directories( ${OPENMP_LIBRARIES} )
if(BUILD_STATIC)set( CMAKE_EXE_LINKER_FLAGS "${OpenFHE_EXE_LINKER_FLAGS} -static")link_libraries( ${OpenFHE_STATIC_LIBRARIES} )
else()set( CMAKE_EXE_LINKER_FLAGS ${OpenFHE_EXE_LINKER_FLAGS} )link_libraries( ${OpenFHE_SHARED_LIBRARIES} )
endif()
add_executable(test test.cpp )

然后使用

cmake ./
make

就可以生成可执行文件 test 了。如果不能找到 OpenFHE库，可以尝试手动设置，将安装的路径添加到搜索路径中，如在 find_package 命令之前使用 include_directories（your path）将你的安装路径添加进去。

参考文献

[1] Al Badawi, Ahmad, et al. “Openfhe: Open-source fully homomorphic encryption library.” Proceedings of the 10th Workshop on Encrypted Computing & Applied Homomorphic Cryptography. 2022.
[2] Brakerski, Zvika, Craig Gentry, and Vinod Vaikuntanathan. “(Leveled) fully homomorphic encryption without bootstrapping.” ACM Transactions on Computation Theory (TOCT) 6.3 (2014): 1-36.
[3] Fan, Junfeng, and Frederik Vercauteren. “Somewhat practical fully homomorphic encryption.” Cryptology ePrint Archive (2012).
[4] Cheon, Jung Hee, et al. “Homomorphic encryption for arithmetic of approximate numbers.” Advances in Cryptology–ASIACRYPT 2017: 23rd International Conference on the Theory and Applications of Cryptology and Information Security, Hong Kong, China, December 3-7, 2017, Proceedings, Part I 23. Springer International Publishing, 2017.
[5] Ducas, Léo, and Daniele Micciancio. “FHEW: bootstrapping homomorphic encryption in less than a second.” Annual international conference on the theory and applications of cryptographic techniques. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2015.