文章目录
- 一、198、打家劫舍
- 二、213、打家劫舍 II
- 三、337、打家劫舍III
- 三、完整代码
所有的LeetCode题解索引,可以看这篇文章——【算法和数据结构】LeetCode题解。
一、198、打家劫舍
思路分析:打家劫舍是动态规划的的经典题目。本题的难点在于递归公式和初始化。
- 第一步, d p [ j ] dp[j] dp[j]的含义。 d p [ j ] dp[j] dp[j]代表到第 j j j家的时候,偷窃到的最高金额。
- 第二步,递推公式。 d p [ j ] dp[j] dp[j]仅仅与 d p [ j − 1 ] dp[j-1] dp[j−1]和 d p [ j − 2 ] dp[j-2] dp[j−2]有关。如果不偷第 j j j家,则偷窃金额不变, d p [ j ] = d p [ j − 1 ] dp[j] = dp[j-1] dp[j]=dp[j−1]。如果偷第 j j j家,那么偷窃金额在 d p [ j − 2 ] dp[j-2] dp[j−2]基础上加上 n u m s [ i ] nums[i] nums[i],即 d p [ j ] = d p [ j − 2 ] + n u m s [ i ] dp[j] = dp[j-2] + nums[i] dp[j]=dp[j−2]+nums[i]。综合二者, d p [ j ] = m a x ( d p [ j − 1 ] , d p [ j − 2 ] + n u m s [ i ] ) dp[j] = max(dp[j-1], dp[j-2] + nums[i]) dp[j]=max(dp[j−1],dp[j−2]+nums[i])。
- 第三部,元素初始化。 d p [ 0 ] dp[0] dp[0]初始化为0,代表还没开始偷窃; d p [ 1 ] dp[1] dp[1]初始化为 n u m [ 0 ] num[0] num[0]。
- 第四部,递归顺序。循环从 j = 2 j = 2 j=2开始。
- 第五步,打印结果。
程序如下:
// 198、打家劫舍,动态规划
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);dp[1] = nums[0];for (int i = 2; i <= nums.size(); i++) {dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i-1]);}return dp[nums.size()];}
};
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)。
- 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)。
因为只用到了dp数组的最后一个元素,实际上不需要保存所有的元素。因此对上述代码进行内存优化,将空间复杂度降低到 O ( 1 ) O(1) O(1),但是递归的过程不明显,找bug费劲。
// 198、打家劫舍,动态规划-内存优化
class Solution2 {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];int first = nums[0], second = max(nums[0], nums[1]);for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {int temp = second;second = max(second, first + nums[i]);first = temp;}return second;}
};
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)。
- 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)。
二、213、打家劫舍 II
思路分析:本题是打家劫舍I的升级版,要求第一家和最后一家是连着的,不能同时偷。这是一个非此即彼的问题。要么偷第一家,不偷最后一家,这等于将最后一家排除在外。反之,不偷第一家,偷最后一家,等价于将第一家排除在外。假设第一家的下标为 0 0 0,最后一家的下标为 i − 1 i-1 i−1,那么一共有两种情况:偷窃范围 [ 0 , i − 2 ] [0, i - 2] [0,i−2],偷窃范围 [ 1 , i − 1 ] [1, i - 1] [1,i−1]。然后应用打家劫舍I的思路来做即可。以下是动态规划的代码,内存优化版本就没给出了,思路都是一样的。
程序如下:
// 213、打家劫舍II,动态规划
class Solution3 {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];int result1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2);int result2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1);return max(result1, result2);}int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {if (end == start) return nums[start];vector<int> dp(nums.size(), 0);dp[start] = nums[start];dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);for (int i = start + 2; i <= end; i++) {dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);}return dp[end];}
};
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)。
- 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)。
三、337、打家劫舍III
思路分析:本题是打家劫舍I的变体,原题目中的数组变成了二叉树。本题涉及到树形递归和动态规划,我们就结合递归三部曲和动态规划五步骤:
- 1、返回值和递归参数。我们需要判断一个节点要不要偷,而偷不偷取决于动作带来的收益。因此,我们需要返回一个节点偷与不偷的两个状态所得的金额。这就是一个长度为2的数组。这里我们假设这个二维数组第一个元素代表不偷的收益,第二个元素代表偷的收益,{ 0 , 1 = 不偷的收益,偷的收益 {0, 1} = {不偷的收益,偷的收益} 0,1=不偷的收益,偷的收益}。输入参数是当前节点。
- 2、确定终止条件。当遇到空节点就返回,空节点不会带来收益。因此返{ 0 , 0 {0,0} 0,0}。
if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
- 3、确定遍历顺序。因为当前节点偷不偷需要根据左右孩子的返回值来进行判断,所以 我们需要先得到左右孩子的返回值,即先遍历左右孩子。在所有的遍历顺序中,只有后序遍历(左右中遍历顺序)满足。
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
- 4、确定单层递归逻辑。对于当前节点来说,只有两个情况。如果偷当前节点,那么左右孩子节点就不能偷,偷的收益=左孩子不偷的收益+右孩子不偷的收益。如果不偷当前节点,那么左右孩子节点可偷可不偷,至于究竟偷不偷就看那个收益大(注意偷的收益未必更大,偷了小的金额,旁边大的金额就偷不了)。不偷的收益 = max(左孩子不偷的收益,左孩子偷的收益)+max(右孩子不偷的收益,右孩子偷的收益)。将文字抽象成公式:
int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; // 偷当前节点,那么左右孩子节点不能偷int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); // 不偷当前节点,那么左右孩子节点可以偷也可以不偷,取决于偷或者是不偷的金额。
- 5、具体示例推导dp数组,验证。
程序如下:
// 337、打家劫舍III动态规划
class Solution {
public:int rob(TreeNode* root) {vector<int> result = robTree(root);return max(result[0], result[1]);}vector<int> robTree(TreeNode* cur) { // 返回一个二维数组, {0, 1} = {不偷的金额,偷的金额}if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};vector<int> left = robTree(cur->left);vector<int> right = robTree(cur->right);int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; // 偷当前节点,那么左右孩子节点不能偷int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); // 不偷当前节点,那么左右孩子节点可以偷也可以不偷,取决于偷或者是不偷的金额。return { val2, val1 };}
};
复杂度分析:
- 时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n),每个节点只遍历了一次。
- 空间复杂度: O ( l o g n ) O(log n) O(logn),算上递推系统栈的空间。
三、完整代码
// 打家劫舍I, II
# include <iostream>
# include <vector>
# include <algorithm>
using namespace std;// 198、打家劫舍,动态规划
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size() + 1, 0);dp[1] = nums[0];for (int i = 2; i <= nums.size(); i++) {dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i-1]);}return dp[nums.size()];}
};// 198、打家劫舍,动态规划-内存优化
class Solution2 {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];int first = nums[0], second = max(nums[0], nums[1]);for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {int temp = second;second = max(second, first + nums[i]);first = temp;}return second;}
};// 213、打家劫舍II,动态规划
class Solution3 {
public:int rob(vector<int>& nums) {if (nums.size() == 0) return 0;if (nums.size() == 1) return nums[0];int result1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2);int result2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1);return max(result1, result2);}int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {if (end == start) return nums[start];vector<int> dp(nums.size(), 0);dp[start] = nums[start];dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);for (int i = start + 2; i <= end; i++) {dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);}return dp[end];}
};int main() {vector<int> nums = { 1,2,3,1 };Solution3 s1;int result = s1.rob(nums);cout << result << endl;system("pause");return 0;
}
// 337、打家劫舍III
# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
# include <queue>
using namespace std;// 树节点定义
struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}TreeNode(int x, TreeNode* left, TreeNode* right) : val(x), left(left), right(right) {}
};template<typename T>
void my_print(T& v, const string msg)
{cout << msg << endl;for (class T::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++) {cout << *it << ' ';}cout << endl;
}template<class T1, class T2>
void my_print2(T1& v, const string str) {cout << str << endl;for (class T1::iterator vit = v.begin(); vit < v.end(); ++vit) {for (class T2::iterator it = (*vit).begin(); it < (*vit).end(); ++it) {cout << *it << ' ';}cout << endl;}
}// 前序遍历迭代法创建二叉树,每次迭代将容器首元素弹出(弹出代码还可以再优化)
void Tree_Generator(vector<string>& t, TreeNode*& node) {if (!t.size() || t[0] == "NULL") return; // 退出条件else {node = new TreeNode(stoi(t[0].c_str())); // 中if (t.size()) {t.assign(t.begin() + 1, t.end());Tree_Generator(t, node->left); // 左}if (t.size()) {t.assign(t.begin() + 1, t.end());Tree_Generator(t, node->right); // 右}}
}// 层序遍历
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {queue<TreeNode*> que;if (root != NULL) que.push(root);vector<vector<int>> result;while (!que.empty()) {int size = que.size(); // size必须固定, que.size()是不断变化的vector<int> vec;for (int i = 0; i < size; ++i) {TreeNode* node = que.front();que.pop();vec.push_back(node->val);if (node->left) que.push(node->left);if (node->right) que.push(node->right);}result.push_back(vec);}return result;
}// 337、打家劫舍III动态规划
class Solution {
public:int rob(TreeNode* root) {vector<int> result = robTree(root);return max(result[0], result[1]);}vector<int> robTree(TreeNode* cur) { // 返回一个二维数组, {0, 1} = {不偷的金额,偷的金额}if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};vector<int> left = robTree(cur->left);vector<int> right = robTree(cur->right);int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; // 偷当前节点,那么左右孩子节点不能偷int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); // 不偷当前节点,那么左右孩子节点可以偷也可以不偷,取决于偷或者是不偷的金额。return { val2, val1 };}
};int main() {vector<string> t = { "3", "2", "NULL", "3", "NULL", "NULL", "3", "NULL", "1", "NULL", "NULL"}; // 前序遍历TreeNode* root = new TreeNode(); // 生成根节点Tree_Generator(t, root); // 生成树vector<vector<int>> tree = levelOrder(root); // 层序遍历my_print2<vector<vector<int>>, vector<int>>(tree, "目标树:"); // 打印层序遍历Solution s1;int result = s1.rob(root);cout << "最大金额为:" << result << endl;system("pause");return 0;
}
end