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一，k流

二，整数流

三，四色问题

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一，k流

Tutte在研究四色问题时，开创了整数流理论。

他研究的具体问题是，给定一个有向图和一个k阶交换群，能不能找到一个函数，把图的每个边映射到群的一个非零元素，使得对于每一个点，进入该点的所有边的函数值之和等于离开该点的所有边的函数值之和。

如果存在，那么称这个函数为一个k流

二，整数流

Tutte证明，是否存在k流和交换群的结构无关，只和k有关。

所以，我们只需要考虑整数模k的群即可，这是最简单的交换群。

那么，是否存在k流可以表述为：给定一个有向图和一个k阶交换群，能不能找到一个函数，把图的每个边赋予一个权值为1到k的整数，使得对于每一个点，进入该点的所有边的权值之和和离开该点的所有边的权值之和模k同余。

于是k流问题也被称之为整数流问题。

三，四色定理

四色定理的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”

Tutte证明，一个平面图是否可以k着色，等价于是否存在k流。

所以，任意一个平面图都可以4着色，等价于任意一个平面图都存在4流。

按照这个思路，借助计算机证明，四色猜想才变成四色定理。

四色定理的例子