基于几何的方法

基于几何的方法假设在特征空间中彼此接近的数据点往往具有相似的属性。因此，基于几何的方法试图移除那些提供冗余信息的数据点，剩下的数据点形成一个核心集合S，其中jSj ≤ jTj。

Herding（聚集）

是一种基于几何的方法，它根据特征空间中核心集合的中心点与原始数据集中心点之间的距离选择数据点。该算法每次以贪婪的方式将一个样本逐步添加到核心集合中，以使两个中心点之间的距离最小化。

Herding方法的目标是构建一个代表性的数据子集，以捕捉原始数据集的基本信息。通过选择最小化与核心集合中心的距离的样本，它旨在包含最具信息量和代表性的数据点，以代表整个数据集。
Herding是基于几何的方法中的一种技术，用于数据降维或摘要。它有助于识别一个较小的数据点集合，保留原始数据集的基本特征，从而实现更高效的分析和处理，同时尽量减少信息损失。

k-Center Greedy（k-中心贪婪）

是一种解决最小最大设施选址问题（minimax facility location problem）的方法，即从完整数据集T中选择k个样本作为核心集合S，使得T中的数据点与S中最近的数据点之间的最大距离最小化：
k-Center Greedy已成功应用于广泛的领域，例如主动学和高效的GAN训练。

k-Center Greedy的目标是选择一组k个样本，使得它们能够最好地代表整个数据集，并且能够满足最小最大距离的要求。算法通过贪婪地选择距离当前核心集合最远的样本，逐步构建核心集合。

k-Center Greedy算法的优势在于它的高效性和可扩展性。它可以在大规模数据集上进行快速计算，并且可以通过调整k的值来控制核心集合的大小和代表性。这使得k-Center Greedy成为许多应用中的有用工具，特别是在需要选择一小部分样本来代表整个数据集的问题中。

不确定性方法（Uncertainty Based Methods）

在模型优化中认为，置信度较低的样本可能对模型优化的影响大于置信度较高的样本，因此应该将其包含在核心集合中。下面是给定特定分类器和训练时期的常用样本不确定性度量指标，即最小置信度（Least Confidence）、熵（Entropy）和边界（Margin）[9]，其中C是类别的数量。我们按照分数的降序选择样本。

在不确定性方法中，最小置信度（Least Confidence）是指分类器对某个样本所预测的最低置信度。熵（Entropy）是在多分类问题中衡量样本预测概率分布的不确定性的度量，当分类器对某个样本的预测概率分布更平坦时，熵值越大，不确定性越高。**边界（Margin）**是指分类器对两个最高概率的类别之间的差异程度，边界越大表示分类器对某个样本的预测更加确定。

根据以上不确定性度量指标，可以按照分数的降序选择样本。也就是说，将样本按照不确定性度量的分数从高到低进行排序，然后选择分数最高的样本加入核心集合。

不确定性方法在主动学习、样本选择和数据集压缩等领域具有广泛的应用。通过选择具有较高不确定性的样本，可以提高模型的鲁棒性和泛化能力，并减少对大型数据集的依赖，从而加快模型训练和预测的速度。

误差/损失方法（Error/Loss Based Methods）

在训练神经网络时，认为对误差或损失做出更大贡献的训练样本更为重要。样本的重要性可以通过每个样本的损失或梯度，或者它对其他样本预测的影响来衡量，这些样本在模型训练过程中对其他样本预测的影响。选择具有最大重要性的样本作为核心集合。

遗忘事件（Forgetting Events）是指在训练过程中发生遗忘的次数。Toneva等人计算了在当前时期中被正确分类的样本在前一个时期中被错误分类的次数，即accti > acct+1i，其中accti表示时期t中样本i的预测的正确性（True或False）。遗忘次数反映了训练数据的内在特性，可以通过删除那些无法遗忘的样本来实现性能的最小损失。

通过基于误差或损失的方法选择样本，可以强调那些对模型训练产生更大影响的样本，提高模型对重要样本的关注度，从而提高模型的性能。此外，通过观察遗忘次数，可以了解训练数据的特点，并识别出对模型性能影响较小的样本，从而实现数据集的压缩或简化，减少模型训练和推断的计算负担。
重要性采样（Importance Sampling）中，我们定义s(x, y)为数据点(x, y)对总损失函数的上界贡献，也称为敏感性分数。可以通过以下公式表示：

s(x, y) = max [ ∀(x0, y0)∈T ] s(x0, y0) (5)

其中`(x, y)是具有参数Φ的非负代价函数。对于T中的每个数据点，被选择的概率被设置为p(x, y) = s(x, y) / Σs(x, y) (x, y)∈T。

核心集合S是基于这些概率构建的。类似的想法也在黑盒学习器（Black box learners）中提出，其中错误分类的样本将被加权或其采样概率将增加。通过重要性采样方法选择样本，可以更加有效地利用有限的计算资源，并提高对重要样本的关注度，从而加速模型训练和推断的过程。

基于决策边界的方法（Decision Boundary Based Methods）

由于决策边界附近的数据点很难被分离，因此最靠近决策边界的数据点也可以作为核心集合的一部分。

对抗性DeepFool（Adversarial DeepFool）

尽管无法准确获得到达决策边界的距离，但Ducoffe和Precioso在输入空间X中寻求这些距离的近似值。通过对样本进行扰动，直到样本的预测标签发生变化，那些需要最小对抗扰动的数据点最接近决策边界。

对比主动学习（Contrastive Active Learning）

为了找到靠近决策边界的数据点，对比主动学习（Cal）选择预测概率与其邻居之间差异最大的样本来构建核心集合。

基于决策边界的方法通过关注决策边界附近的样本，可以捕捉到类别之间的边界区域，从而更好地表示和优化模型。这些方法可以提高模型对决策边界附近样本的关注度，从而提高模型的性能和鲁棒性。

基于梯度匹配的方法（Gradient Matching Based Methods）

通常使用（随机）梯度下降算法来训练深度模型。因此，我们期望通过完整训练数据集产生的梯度P(x, y)∈T rΦ(x, y, Φ)可以用一个子集P(x, y)∈S wΦ(x, y, Φ)的（加权）梯度来替代，且二者之间的差异最小化。

最小化目标函数：
min w, S D(
1 / |T| ∑_(x, y)∈T rΦ(x, y, Φ), 1 / |w| ∑_(x, y)∈S w rΦ(x, y, Φ))
s.t. S ⊆ T, wx ≥ 0 (6)

其中，w是子集权重向量，|w|是绝对值之和，D(·, ·)是衡量两个梯度之间距离的函数。

Craig方法（Craig）

Mirzasoleiman等人试图找到一个最优的核心集合，以在最大误差"下近似完整数据集的梯度。他们将梯度匹配问题转化为一个单调子模函数F的最大化问题，并使用贪心算法来优化F。

基于梯度匹配的方法通过近似完整数据集的梯度来选择核心集合，从而减少计算和存储的负担。这些方法可以在减少数据集规模的同时，尽可能保留与完整数据集相似的梯度信息，从而提高模型在核心集合上的训练效果。

GradMatch方法

相较于Craig方法能够在保持相同梯度匹配误差"的情况下，使用更小的子集。GradMatch引入了一个带有系数的平方l2正则化项，用于惩罚给个别样本分配较大权重。为了解决优化问题，GradMatch提出了一种贪心算法——正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit），该算法可以保证在约束条件jSj ≤ k（k为预设常数）下，达到误差1-exp(−(+kr^2_max))。

GradMatch方法通过引入正则化项和贪心算法，可以在减小子集规模的同时，保持较低的梯度匹配误差。这有助于进一步减少计算和存储需求，并提高在核心集合上的训练效果。