概述

本文提出的自适应加权方法在于权重适用于不同损失组件中的个别训练点，而不是整个损失组件。之前的方法可以被看作是这个方法的一个特例，当所有针对特定损失组件的自适应权重同时更新时。在之前的方法中，独立开发的极小极大加权方案[16]与SA-PINNs最为相近，因为它也通过梯度下降来更新权重；然而，这些权重仍然适用于整个损失组件。本文呈现的多项经验和理论证据表明，在各种损失项中为每个训练点加权的灵活性，带来了可以提升性能的额外灵活性。

SA-PINN的全局自适应机制是通过以下步骤实现的：

1. 随机采样点：在物理域内随机选择一些采样点。这些采样点可以是空间中的点、边界上的点或者其它感兴趣的位置。

2. 物理方程建模：利用神经网络来建模物理方程。神经网络的输入是采样点的位置信息，输出是物理量的预测值。通过反向传播算法，优化网络参数以最小化物理方程的残差。

3. 自适应权重函数：为了更好地适应物理系统的特性，引入了自适应的权重函数。权重函数可以根据采样点的位置信息来决定其在训练过程中的重要性。通常，可以使用高斯核函数或者其它适当的函数来定义权重函数。

4. 网络训练：使用采样点的数据进行网络训练。通过最小化物理方程的残差，并考虑自适应权重函数，优化网络参数。

5. 预测和求解：训练完成后，可以使用SA-PINN进行预测和求解。通过输入未知位置的采样点，神经网络可以给出相应的物理量预测结果。