算法分析(概论)

目录

第一章 概论

1.算法的概念

1.定义

2.算法设计要求

3.算法的特性

4.算法描述

5.数据结构与算法

6.算法设计的基本步骤

2.算法分析

1.计算机资源

2.算法分析

3.评判算法效率的方法

4.算法时间复杂度分析

5.渐进符号

1.大Ο符号

2.大Ω符号

3.大Θ符号

4.三种符号图例

5.渐进符号特性 


第一章 概论(上)

1.算法的概念

1.定义

算法是求解问题的一系列计算步骤,是来将输入数据转换成输出结果。

用于将输入数据转换为输出结果。

2.算法设计要求

正确性:要求算法能够正确地执行预先规定的功能和性能要求。

②可使用性:要求算法能够很方便的使用。(用户友好性)

③可读性:算法应该易于人的理解。(可读性好:算法的逻辑必须是清晰的、简答的和结构化的)

④健壮性:要求算法具有很好的容错性,也就是可以提供异常处理,能够对不合理的数据进行检查,不经常出现异常中断或死机现象。

⑤高效性与低存储量需求:通常算法的效率主要指算法的执行时间。对同一个问题如果有多种算法求解,执行时间短的算法效率高。(算法存储量指的是算法执行过程中所需的最大存储空间,效率和低存储量都与问题的规模有关

举个例子:关于在带头结点的单链表h中查找第一个值为x的结点,并返回其逻辑序号(从1开始),找不到则返回0。

#include<stdio.h>
typedef struct node
{int data;struct node *next;
}LNode;
int Findx(LNode *h,int x)
{int i=0;LNode *p=h->next;while(p->data!=x&&p!=NULL){p=p->next;i++;}if(p==NULL){return 0;} else{return i;}
}

3.算法的特性

①有限性:一个算法必须总是(对任何合法的输入值)在执行有限步之后结果,且每一步都可在有限时间内完成。

②确定性:算法每一步指令必须有确切的含义,不会产生二义性。

③可行性:算法中的每一条运算都必须是足够基本的,也就是它们在原则上都能精确的执行,甚至人们仅用笔和纸做有限次运算就可以完成。

④输入性:一个算法有零个或者多个输入。大部分算法的输入参数是必要的,但对于较简单的算法,可以不需要任何输入参数(例如1+2)。因此算法可以是一个或者多个。

⑤输出性:一个算法可以有零个或者多个输出。算法用于某种数据的处理,如果没有输出,这样的算法是没有意义的,这些输出是和输入有着某些特定关系的量。

错误举例:

//举例1:不满足算法的有限性(无限循环)
void main()
{int n=2;while(n%2==0){n+=2;}printf("%d\t",n);
}
//举例2:不满足算法的可行性(分母为0)
void main()
{int x,y;x=0;y=5/x;printf("%d,%d",x,y);
}

4.算法描述

C语言可以使用指针方式实现形参的回传;

C++语言使用引用型参数的概念,引用型参数名前需要添加&,表示这样的形参在执行后会将结果回传给对应的实参。

//C
bool fun(int n,int s)
{if(n<=0){return false;}s=0;for(int i=1;i<=n;i++){s+=i;}return true;
}
void main()
{int a=10,b=0;if(fun(a,b)){printf("%d",b);}else{printf("输入错误!");}
}
//C++
bool fun(int n,int &s)
{if(n<=0){return false;}s=0;for(int i=1;i<=n;i++){s+=i;}return true;
}

5.数据结构与算法

数据结构是算法设计的基础,算法的操作对象是数据结构。

数据结构设计主要是选择数据的存储方式(例如确定求解问题中的数据采用数组存储还是采用链表存储);算法设计就是在选定的存储结构上设计一个满足要求的好的算法。

数据结构关注的是数据的逻辑结构、存储结构以及基本操作;算法关注的是如何在数据结构的基础上解决实际问题。

算法是编程思想,数据结构是思想的逻辑基础。

6.算法设计的基本步骤

①分析求解问题:确定求解问题的目标(功能)、给定的条件(输入)、生成的结果(输出)

②选择数据结构和算法设计策略:设计数据对象的存储结构,因为算法效率取决于数据结构的存储表示。算法设计策略包括迭代法、分治法、动态规划和回溯法等

③描述算法:清步骤晰准确记录所设计的求解

④证明算法的正确性:可以采用数学证明方法

⑤算法分析:在多个算法中选取最好的算法

2.算法分析

1.计算机资源

①计算时间②内存空间。

2.算法分析

是分析算法占用计算机资源的情况,算法分析包括:①时间复杂度②空间复杂度,目的在于考察算法的时间和空间效率,以求改进算法或对不同算法进行比较。

3.评判算法效率的方法

①事后统计法(必须执行程序)②事前分析估算法(存在其他因素掩盖算法本质)

4.算法时间复杂度分析

  1. 时间复杂度分析:在计算机上运行时所消耗的时间与很多因素有关,仅考虑算法本身的效率高低,可以认为一个特定算法的“运行工作量”的大小只依赖于问题的规模,或者是问题规模的函数。这就是事前分析估算法一个算法是由控制结构(顺序、分支、循环)和原操作(指固定数据类型的操作)构成。算法的执行时间主要与问题规模有关。

  2. 分析算法时间复杂度的一般步骤:算法分析问题规模n,找出其中的基本语句,求出其运算次数f(n)用大Ο,大Ω或Θ表示(大Ο,大Ω或Θ是渐进符号,采用渐进符号表示的算法时间复杂度也称为渐进时间复杂度,反映的是一种增长趋势)

  3. 通常称渐进时间复杂度为多项式的算法为有效算法;称n!或2^n这样的低效算法为指数时间算法。

5.渐进符号

1.大Ο符号

定义1(大〇符号):f(n)=O(g(m))(读作“ (n)是g(n)的大O”),当且仅当存在正常量c和no,使当n≥n。时f(n)≤cg(m),即g(n)为f(n)的上界。

2.大Ω符号

定义 2(大Ω符号):f(n)=Ω(g(n))(读作“f(n)是g(n)的大Ω”),当且仅当存在正常量c和n,使当 n>no 时 f(n)>cg(n),即 g(n)为 f(n)的下界。

3.大Θ符号

定义 3(大 @ 符号):f(n)= @(g(n))(读作“f(n)是g(n)的大@”),当且仅当存在正常量 c、c: 和 no,使当 n>n 时有 cg(n)<f(n)<cg(n),即 g(n)与 f(n)的同阶。

4.三种符号图例

在每个部分中,n0是最小的可能值,大于n0的值也有效,成为渐进分析。Θ(g(n))对应的g(n)是渐进确界,O(g(n))对应的g(n)是渐进上界,Ω(g(n))对应的g(n)是渐进下界。

5.渐进符号特性 

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