365. 水壶问题

题目描述：

有两个水壶，容量分别为 jug1Capacity 和 jug2Capacity 升。水的供应是无限的。确定是否有可能使用这两个壶准确得到 targetCapacity 升。

如果可以得到 targetCapacity 升水，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 targetCapacity 升水。

你可以：

• 装满任意一个水壶
• 清空任意一个水壶
• 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例 1: 

输入: jug1Capacity = 3, jug2Capacity = 5, targetCapacity = 4
输出: true
解释：来自著名的 "Die Hard"

示例 2:

输入: jug1Capacity = 2, jug2Capacity = 6, targetCapacity = 5
输出: false

示例 3:

输入: jug1Capacity = 1, jug2Capacity = 2, targetCapacity = 3
输出: true

提示:

• 1 <= jug1Capacity, jug2Capacity, targetCapacity <= 10^6

思路：

这题不是奥数题？好好好!仔细想想其实这个题的操作选项只有有限的几个。

1)在任意一个时刻，此问题的状态可以由两个数字决定：X 壶中的水量，以及 Y 壶中的水量。

以下几种操作：

把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空；
把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空；
把 X 壶灌满；
把 Y 壶灌满；
把 X 壶倒空；
把 Y 壶倒空。
因此，本题可以使用深度优先搜索来解决。搜索中的每一步以 remain_x, remain_y 作为状态，即表示 X 壶和 Y 壶中的水量。在每一步搜索时，我们会依次尝试所有的操作，递归地搜索下去。这可能会导致我们陷入无止境的递归，因此我们还需要使用一个哈希结合（HashSet）存储所有已经搜索过的 remain_x, remain_y 状态，保证每个状态至多只被搜索一次。

2)官解数学思路：

我们认为，每次操作只会让桶里的水总量增加 x，增加 y，减少 x，或者减少 y。

你可能认为这有问题：如果往一个不满的桶里放水，或者把它排空呢？那变化量不就不是 x 或者 y 了吗？接下来我们来解释这一点：

首先要清楚，在题目所给的操作下，两个桶不可能同时有水且不满。因为观察所有题目中的操作，操作的结果都至少有一个桶是空的或者满的；

其次，对一个不满的桶加水是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于直接从初始状态给这个桶加满水；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态分别给两个桶加满；

再次，把一个不满的桶里面的水倒掉是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于回到初始状态；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态直接给另一个桶倒满。

因此，我们可以认为每次操作只会给水的总量带来 x 或者 y 的变化量。因此我们的目标可以改写成：找到一对整数 a,b使得：ax+by=z。而只要满足 z≤x+y，且这样的 a,b存在，那么我们的目标就是可以达成的。这是因为：

若 a≥0,b≥0，那么显然可以达成目标。

若 a<0，那么可以进行以下操作：

往 y 壶倒水；

把 y 壶的水倒入 x 壶；

如果 y 壶不为空，那么 x 壶肯定是满的，把 x 壶倒空，然后再把 y 壶的水倒入 x 壶。

重复以上操作直至某一步时 x 壶进行了 a 次倒空操作，y 壶进行了 b 次倒水操作。

若 b<0，方法同上，x 与 y 互换。

而贝祖定理告诉我们，ax+by=z有解当且仅当 z 是 x,y的最大公约数的倍数。因此我们只需要找到 x,y的最大公约数并判断 z 是否是它的倍数即可。

代码：

官解：python

class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:stack = [(0, 0)]self.seen = set()while stack:remain_x, remain_y = stack.pop()if remain_x == z or remain_y == z or remain_x + remain_y == z:return Trueif (remain_x, remain_y) in self.seen:continueself.seen.add((remain_x, remain_y))# 把 X 壶灌满。stack.append((x, remain_y))# 把 Y 壶灌满。stack.append((remain_x, y))# 把 X 壶倒空。stack.append((0, remain_y))# 把 Y 壶倒空。stack.append((remain_x, 0))# 把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空。stack.append((remain_x - min(remain_x, y - remain_y), remain_y + min(remain_x, y - remain_y)))# 把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空。stack.append((remain_x + min(remain_y, x - remain_x), remain_y - min(remain_y, x - remain_x)))return False

数学方法：

class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:if x + y < z:return Falseif x == 0 or y == 0:return z == 0 or x + y == zreturn z % math.gcd(x, y) == 0

CV大法好。。。。(bushi)