在数学上，腐蚀和膨胀是集合论的操作，通常应用于图像处理中的二值图像。可以将二值图像视为一个集合，其中包含所有像素值为1（或高亮）的像素点的集合。这些操作都是基于图像与一个给定的结构元素（一个小的形状或模板）的关系来定义的。

腐蚀的数学原理

腐蚀可以被看作集合的交运算。设 A 是二值图像，B 是结构元素。腐蚀操作定义为：
A⊖B={z∣(B) z ⊆A}

其中，(B) z 是结构元素 , B 位于位置 z 时的平移。腐蚀操作的结果是集合 A 中所有能够完全包含结构元素 B 的元素 z 的集合。

膨胀的数学原理

膨胀可以被看作集合的并运算。设 A 是二值图像，B 是结构元素。膨胀操作定义为：

A⊕B={z∣(B) z ∩A=∅}

这里，(B) z ∩A=∅ 表示结构元素 B 位于位置 z 时，与集合 A 至少有一个共同元素。膨胀操作的结果是集合 A 中所有与结构元素 B 相交的元素 z 的集合。

数学表示

在更正式的数学表示中，对于图像 I 和结构元素 S，腐蚀和膨胀分别可以表示为：
腐蚀：(I⊖S)(x,y)=min{I(x+i,y+j)∣(i,j)∈S}

膨胀：(I⊕S)(x,y)=max{I(x+i,y+j)∣(i,j)∈S}

这里，(x,y) 是图像中的像素位置，而 (i,j) 是结构元素中的相对位置。
通过这种方式，腐蚀和膨胀操作在数学上定义了图像中像素的变换，这在图像处理中用于增强或减弱图像中的特定结构。