从状态方程导出微分方程

2023年6月20日

---

---

1. 基本方法

状态空间表达式：
$$\begin{array}{rl}& \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ & y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$
矩阵$D$的列数和矩阵$B$相等，矩阵$D$的行数和矩阵$C$相等。
拉氏变换下：
$$\begin{array}{rl}sX(s)-X(0)=& AX(s)+BU(s)\\ Y(s)=& CX(s)+DU(s)\end{array}$$
零状态下可以推出：
$$\begin{array}{rl}Y(s)=& [C(sI-A{)}^{-1}B+D]U(s)\\ & \\ =& G(s)U(s)\end{array}$$
所以传递函数矩阵：
$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$

clc;clear
A = [0 1 0; 0 -4 3; -1 -1 -2]; % 一个MIMO的系统示例
B = [0 0; 1 0; 0 1];
C = [1 0 0; 0 0 1];
D = [0 0 ;0 0];syms s
sI = s * eye(size(A)); 
Gs = C*((sI-A)^-1)*B+D  % 求传递函数矩阵的公式
pretty(Gs)

代码对于SISO的系统也能使用。
matlab提供了一个现成的函数，ss2tf，可以直接得到系数，

[N1, D1] = ss2tf(A, B, C, D, 1) % 第一个输入对应的 y1 和 y2 的传递函数

注意这里得到的是相当于$u_2(s)=0$ 时候$y_1(s)$和$y_2(s)$的传递函数，N1第一行是$y_1(s)$传递函数分母的系数，第二行是$y_2(s)$传递函数分母的系数。
特征方程：

poly2sym(D1, s)

题一嘴，这个函数如果第一个输入的列数大于一，会按先列后行的方式分配系数。

---

2. 电路与符号函数

上面的代码也可以推导符号函数，注意符号函数除法分母的括号不要漏写：

syms s R C1 C2 L
A = [-1/(C1*R), 0, -1/C1; 0, 0, 1/C2; 1/L, -1/L, 0]
B = [1/(C1*R); 0; 0];
C = [1, -1, 0];
D = 0;
sI = s * eye(size(A)); 
Gs = C*((sI-A)^-1)*B+D;  % 求传递函数矩阵的公式
pretty(simplify(Gs))

一般有几个电容+电感，就有几个状态变量，即几阶电路。电容的电压、电感的电流常作为状态变量。但当两个电容并联，或者两个电感串联时，可以合并成一个状态变量。

---

下链

---