二叉搜索树、二叉排序树（查找、插入和删除）—

1. 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
不允许存在相同的结点

如：一个int a [] = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9}; 数组组成二叉排序树

定义二叉搜索树的结构：

    static class TreeNode {public int val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;

2. 操作 - 查找

    /*搜索搜索的时间复杂度最好：O(logN)搜索的时间复杂度最坏：O(N)*/public boolean search(int key){TreeNode cur = root;while(cur != null){//找到key，返回trueif(cur.val == key) {return true;}//到右树寻找else if(cur.val < key){cur = cur.right;}//到左树寻找else{cur = cur.left;}}//没有找到值为key的结点return false;}

3. 操作 - 插入

（1）如果树为空树，即根 == null，直接插入

（2）如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

    /*插入：都是插入到叶子结点插入的时间复杂度最好：O(logN)插入的时间复杂度最坏：O(N)*/public void insert(int val) throws Exception {TreeNode newNode = new TreeNode(val);if (root == null) {root = newNode;return;}TreeNode cur = root;TreeNode parent = null;while (cur != null) {parent = cur;//判断是否有重复元素进入if (cur.val == val) {throw new Exception("有重复元素进入！");}//如果要插入的结点的值，大于当前结点，就应该在cur的右子树if (cur.val < val) {cur = cur.right;}//如果要插入的结点的值，小于当前结点，就应该在cur的左子树else if (cur.val > val) {cur = cur.left;}}//如果要插入的结点小于父节点，就应该接在父节点的左子树if (parent.val > val) {parent.left = newNode;}//如果要插入的结点大于父节点，就应该接在父节点的右子树else {parent.right = newNode;}}

搜索和插入的运行结果：

4. 操作 - 删除 ⭐⭐⭐⭐⭐

分情况讨论，如下所示：

设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent

（1）cur.left == null

① cur 是 root，则 root = cur.right

② cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right

③ cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

（2）cur.right == null

① cur 是 root，则 root = cur.left

② cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left

③ cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

（3）cur.left != null && cur.right != null

需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题。

这部分的代码为（有bug）：

        //3.cur两边的子树都不为空else{TreeNode t = cur.left;TreeNode tp = null;while(t.right != null){tp = t;t = t.right;}cur.val = t.val;//这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空tp.right = t.left;}

原来的图：

第一步进行分析和改进：

第二步进行分析和改进：

树类的方法：

    //删除结点的操作public void remove(int val) {TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while (cur != null) {//去右子树寻找if (cur.val < val) {parent = cur;cur = cur.right;} else if (cur.val > val) {parent = cur;cur = cur.left;}//找到了else {removeNode(cur, parent);return;}}}private void removeNode(TreeNode cur, TreeNode parent) {//1.cur的左子树为空if (cur.left == null) {//（1）cur 是 root，则 root = cur.rightif (cur == root) {root = cur.right;}//（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.rightelse if (cur == parent.left) {parent.left = cur.right;}//（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.rightelse {parent.right = cur.right;}}//2.cur的右子树为空else if (cur.right == null) {//（1）cur 是 root，则 root = cur.leftif (cur == root) {root = cur.left;}//（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.leftelse if (cur == parent.left) {parent.left = cur.right;}//（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.leftelse {parent.right = cur.right;}}//3.cur两边的子树都不为空else {TreeNode t = cur.left;TreeNode tp = cur;while (t.right != null) {tp = t;t = t.right;}cur.val = t.val;if (cur == tp) {tp.left = t.left;} else {//这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空tp.right = t.left;}}}

测试类：

public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree();binarySearchTree.insert(5);binarySearchTree.insert(3);binarySearchTree.insert(7);binarySearchTree.insert(1);binarySearchTree.insert(4);binarySearchTree.insert(6);binarySearchTree.insert(8);binarySearchTree.insert(0);binarySearchTree.insert(9);binarySearchTree.remove(3);}
}

5. 二叉搜索树的完整代码

public class BinarySearchTree {static class TreeNode {public int val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;/*搜索搜索的时间复杂度最好：O(logN)搜索的时间复杂度最坏：O(N)*/public boolean search(int key) {TreeNode cur = root;while (cur != null) {//找到key，返回trueif (cur.val == key) {return true;}//到右树寻找else if (cur.val < key) {cur = cur.right;}//到左树寻找else {cur = cur.left;}}//没有找到值为key的结点return false;}/*插入：都是插入到叶子结点插入的时间复杂度最好：O(logN)插入的时间复杂度最坏：O(N)*/public void insert(int val) throws Exception {TreeNode newNode = new TreeNode(val);if (root == null) {root = newNode;return;}TreeNode cur = root;TreeNode parent = null;while (cur != null) {parent = cur;//判断是否有重复元素进入if (cur.val == val) {throw new Exception("有重复元素进入！");}//如果要插入的结点的值，大于当前结点，就应该在cur的右子树if (cur.val < val) {cur = cur.right;}//如果要插入的结点的值，小于当前结点，就应该在cur的左子树else if (cur.val > val) {cur = cur.left;}}//如果要插入的结点小于父节点，就应该接在父节点的左子树if (parent.val > val) {parent.left = newNode;}//如果要插入的结点大于父节点，就应该接在父节点的右子树else {parent.right = newNode;}}//删除结点的操作public void remove(int val) {TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while (cur != null) {//去右子树寻找if (cur.val < val) {parent = cur;cur = cur.right;} else if (cur.val > val) {parent = cur;cur = cur.left;}//找到了else {removeNode(cur, parent);return;}}}private void removeNode(TreeNode cur, TreeNode parent) {//1.cur的左子树为空if (cur.left == null) {//（1）cur 是 root，则 root = cur.rightif (cur == root) {root = cur.right;}//（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.rightelse if (cur == parent.left) {parent.left = cur.right;}//（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.rightelse {parent.right = cur.right;}}//2.cur的右子树为空else if (cur.right == null) {//（1）cur 是 root，则 root = cur.leftif (cur == root) {root = cur.left;}//（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.leftelse if (cur == parent.left) {parent.left = cur.right;}//（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.leftelse {parent.right = cur.right;}}//3.cur两边的子树都不为空else {TreeNode t = cur.left;TreeNode tp = cur;while (t.right != null) {tp = t;t = t.right;}cur.val = t.val;if (cur == tp) {tp.left = t.left;} else {//这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空tp.right = t.left;}}}}

6. 性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：