基于大整形的运算收录

前言

好久没有更新博客了，hhh。时隔三个月，我又回来了。先来点简单的大整形，虽说简单，但是在编写的时候还是debug了好久。

申明：本文代码为博主自行编写，尚有不足还望海涵，也希望大佬可以指点一二。

为什么要大整数

这是一个令人尴尬的问题。个人看法是除了竞赛大概率碰不上大整形，或者使用c/c++处理大整形的几率很小。我想有的小伙伴要问了，为什么说c/c++处理大整形的几率很小。请看c/c++的语言标准。时至今日，c/c++语言标准都没有明确规定相关生产商必须提供大整形。而在实际的生产中，只有GCC一方提供了“大整形” -- 128位整形。事实上，128位整型并不是内嵌的、官方认定的类型，换句话说只要128位系统没出现，128位类型就不能内嵌，一定是一个认为实现的标准库。在现实生活中，64位整数已经能够处理我们日常生活中的事情。正如有人调侃，微软当初使用64位整型是因为需要64位来存放比尔盖茨的财产，但是32位对于我们普通人来说足够了。由此可见，实际生活没有那么多的大整形。凡事皆有例外，为金融、航天等机密仪器所设计的程序可能会面临大整形、高精度的需求。因此，你发现python在金融称王称霸是合理的。python处理大整形、高精度有着天然优势。但是在精密仪器上应该还是c/cpp开发的程序较多。

总而言之，就是当64位整数不能够满足需求时，就需要按需设计一个存储结构。这个存储结构就是大整形。顺便一提这里不建议使用128位整数，因为可移植性比较差。

大整形的加/减法

大整形的加减法是最为简单的，简单来说就是按位相加减，事后借进位。

大整形的乘法

乘法的实现也比较低，相较于加减法难一丢丢。如果我们有如下的式子：

$number=a_n*base^{n}+a_{n-1}*base^{n-1}+\dots+a_{0}*base^{0}$

那么，现在有 $number_{1},number_{2}$ 可以像如上式子表达。为了方便表示结果存储在 $result$ ,并且 $number[i]=a_{i}*base^{i}$ 。

于是我们知道 $number_{1}*number_{2}=\sum_{i=0}^{n_{1}}(number_{1}[i])*\sum_{i=0}^{n_{2}}(number_{2}[i])$ ,进一步推导得到 $result[k]=\sum_{i}^{k}(number_{1}[i]*number_{2}[k-i])$ 。

大整形除法

除法最简单的直观的方式就是位对齐，减试商。这里还可以来一个小优化，就是试商的时候可以不用循环尝试，使用二分搜索尝试，这样会快一点。因为我们的基底不一定是10。如果是大基底循环试商就太慢了，而选用小基底空间上又太浪费。

当然还有数学方法，如果基于数学算法，大整形的运算速度都可以提升到 $O(nlog^{n})$ 。但是，我太菜了，不能理解。所以就不出来瞎掰扯了，误人子弟了。

大整形开方

这里也是使用了试根法。也有数学方法来着，不过是基于除法实现。so，除法不懂，这里就更不懂了（苦笑ing...）。

代码实现

1000位（十进制）以内目前没发现bug。仍有待测试和完善，乘法计算速度尚可。里面的减法只实现了移位减法供除法使用。一般的减法设计可参看加法 + 移位减法中的检测机制。

里面虽然是无符号类型，但是无符号和有符号的计算效果是一样的。也就是说，如果你需要设计有符号的大整形，可以标注最高位的无符号第1个二进制位就是符号位。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>class BigInt : public std::vector<unsigned long long> {
public:BigInt(unsigned long long n = 0) {int i = 0;do {push_back(0);at(i++) = n % base;n /= base;} while (n);};BigInt(char* s) {int len = strlen(s);for (int i = len - 1; i >= 0; i -= log_10_base) {unsigned long long num = 0;for (int j = i - log_10_base + 1 < 0 ? 0 : i - log_10_base + 1; j <= i; ++j)num = num * 10 + (s[j] - '0');push_back(num);}}const int theBase() const { return base; };// 赋值号BigInt& operator = (const BigInt& other) {for (int i = 0, j = 0; i < other.size(); ++i, ++j) {if (i >= size()) push_back(0);at(j) = other[i];}for (int i = other.size(); i < size(); ++i) pop_back();return *this;};// 加法类BigInt operator+ (const BigInt& other) {int min_digital = std::min(size(), other.size());int max_digital = std::max(size(), other.size());BigInt ret;for (int i = max_digital - 1; i > 0; --i) ret.push_back(0);for (int i = 0; i < min_digital; ++i) ret[i] = at(i) + other[i];for (int i = min_digital; i < size(); ++i) ret[i] = at(i);for (int i = min_digital; i < other.size(); ++i) ret[i] = other[i];ret.process();return ret;};BigInt& operator+= (const BigInt& other) {int min_digital = std::min(size(), other.size());int max_digital = std::max(size(), other.size());for (int i = 0; i < min_digital; ++i) at(i) += other[i];for (int i = min_digital; i < other.size(); ++i) {push_back(0);at(i) = other[i];}process();return *this;};// 乘法类BigInt operator* (const BigInt& other) {BigInt ret;for (int i = size() + other.size() - 1; i > 0; --i) ret.push_back(0);for (int i = 0; i < size(); ++i)for (int j = 0; j < other.size(); ++j)ret[i + j] += at(i) * other[j];ret.process();return ret;};BigInt operator* (const long long num) {BigInt ret;for (int i = size() - 1; i > 0; --i) ret.push_back(0);for (int i = 0; i < size(); ++i)ret[i] = at(i) * num;ret.process();return ret;};BigInt& operator*= (const int num) {for (int i = 0; i < size(); ++i)at(i) *= num;process();return *this;};BigInt operator*= (const BigInt& other) {BigInt ret;for (int i = size() + other.size() - 1; i > 0; --i) ret.push_back(0);for (int i = 0; i < size(); ++i)for (int j = 0; j < other.size(); ++j)ret[i + j] += at(i) * other[j];ret.process();for (int i = 0; i < ret.size(); ++i) {if (i >= size()) push_back(0);at(i) = ret[i];}return *this;};// 减法类// *this - (num << shl) the base is class_base void sub_with_shl(const BigInt& num, int shl) {for (int i = 0; i < num.size(); ++i) {unsigned long long check = at(i + shl);at(i + shl) -= num[i];if (check - num[i] > check) { // 如果发生结尾at(i + shl) += base;at(i + shl + 1) -= 1;int higher = i + shl + 1;while (at(higher) >= base) { // 是否会产生连续借位at(higher) += base;higher += 1;at(higher) -= 1;} // } // }process();};// 除法类// 最简单的方法就是一直循环减// 实际上还有数学方法，本人能力有限无法实现，涉及到多项式环快速逆，Crypto的知识。BigInt operator/ (BigInt& divisor) {if (*this < divisor) return BigInt((unsigned long long) 0);BigInt quotiend;BigInt remainder = *this;int shl = size() - divisor.size(); // 移位if (!divisor.less_equal_with_shl(*this, shl)) shl -= 1;while (divisor <= remainder) {unsigned long long q = remainder.search_quotient(divisor, shl);remainder.sub_with_shl(divisor * (q - 1), shl);quotiend[quotiend.size() - 1] = q - 1;quotiend.push_back(0);if (shl) shl -= 1;}quotiend.pop_back();quotiend.reverse();quotiend.process();return quotiend;}BigInt operator% (BigInt& divisor) {if (*this < divisor) return *this;BigInt quotiend;BigInt remainder = *this;int shl = size() - divisor.size(); // 移位if (!divisor.less_equal_with_shl(*this, shl)) shl -= 1;while (divisor <= remainder) {unsigned long long q = remainder.search_quotient(divisor, shl);remainder.sub_with_shl(divisor * (q - 1), shl);quotiend[quotiend.size() - 1] = q - 1;quotiend.push_back(0);if (shl) shl -= 1;}return remainder;}int operator% (int divisor) {int r = 0;for (int i = size() - 1; i >= 0; --i) {// r = r * base + at(i);r = (r * (base % divisor) + at(i) % divisor) % divisor;}return r;}// 开方运算 -- 1000位精确BigInt sqrt() {BigInt ret;int sz = 0;if (size() % 2 == 0) ret.resize(sz = size() >> 1);else ret.resize(sz = (size() >> 1) + 1);for (int i = sz - 1; i >= 0; --i) {search_root_for_ith_digital(ret, i);}ret.process();return ret;}// 比较类bool operator<(const BigInt& other) const {if (size() != other.size()) return size() < other.size();for (int i = size() - 1; i >= 0; --i)if (at(i) != other[i]) return at(i) < other[i];return false;}bool operator<=(const BigInt& other) const {if (size() != other.size()) return size() < other.size();for (int i = size() - 1; i >= 0; --i)if (at(i) != other[i]) return at(i) < other[i];return true;}// *this << shl <= otherbool less_equal_with_shl(const BigInt& other, int shl) const {if (size() + shl != other.size()) return size() + shl < other.size();for (int i = size() - 1; i >= 0; --i)if (at(i) != other[i + shl]) return at(i) < other[i + shl];return true;}// 输出void output() {printf("%Id", at(size() - 1));for (int i = size() - 2; i >= 0; --i) {for (int j = base / 10; j > 0; j /= 10)printf("%Id", at(i) % (j * 10) / j);}puts("");}
private:void process() {for (int i = 0; i < size(); ++i) {if (at(i) < base) continue;if (i + 1 == size()) push_back(0);at(i + 1) += at(i) / base;at(i) %= base;}for (int i = size() - 1; at(i) == 0 && i > 0; --i) pop_back();}// 为除法设计 -- 小优化long long search_quotient(BigInt& divisor, int shl) {long long l = 1, r = base;while (l < r) {long long mid = l + (r - l >> 1);BigInt tmp = divisor * mid;if (tmp.less_equal_with_shl(*this, shl)) l = mid + 1;else r = mid;}return l;}BigInt& reverse() {for (int i = 0, j = size() - 1; i < j; ++i, --j) {unsigned long long tmp = at(i);at(i) = at(j);at(j) = tmp;}return *this;}void search_root_for_ith_digital(BigInt& ret, int i) {long long l = 1, r = base;while (l < r) {ret[i] = l + (r - l >> 1);BigInt tmp = ret * ret;if (tmp.less_equal_with_shl(*this, 0)) l = ret[i] + 1;else r = ret[i];}ret[i] = l;unsigned long long check = ret[i];ret[i] -= 1;if (ret[i] > check) {int higner = i + 1;ret[i] += base;ret[higner] -= 1;while (ret[higner] > base) {ret[higner] += base;higner += 1;ret[higner] -= 1;}}return;}
private:const static int base = 1000000000;const static int log_10_base = 9;
};