今日复习内容：基础算法中的时间复杂度

时间复杂度分析

• 时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长的增长率。
• 通过分析算法中基本操作的执行次数来确定时间复杂度‘
• 常见的时间复杂度包括：常数时间O(1)，线性时间O(n),对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。
• 在计算的时候我们关注的是复杂度的数量级，并不要求严格的表达式

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• 一般我们关注的是最坏时间复杂度，用O(f(n) )表示，大多数时候我们仅需估算即可；
• 一般来说，评测机1秒大约可以跑2e8次运算，我们要尽可能地让我们的程序运算规模的数量级控制在1e8以内。
• 时间复杂度=O(x)，x为程序运行计算次数
• 只考虑如果同时存在多项，仅考虑最高项 

     （1） O(n^2 + n) = O(n^2)

       (2)    O(n + 5) = O(n)

       (3)    O(n^3 + n + 10) = O(n^3)

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第一个例子

（我只是用它来计算，没有运算结果）

n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
tot = 0
for i in range(n):tot += a[i]
print(tot)

这个题的时间复杂度是O(n) 。

接下来我来讲一下过程：（结合我写的代码）

第一行：时间复杂度为O(1)；

第二行：时间复杂度为O(n)；

第三行：时间复杂度为O(1)；

第四,五行（循环体):时间复杂度为O(n)；

第六行：时间复杂度为O(1)。

所以目前它的时间复杂度为O(2n+3)

简单来说，就是读入数据（数据量为n）的那行和循环体（循环次数是n）的时间复杂度是n，别的都以1来计算。

然后，上面讲过一个式子：O(kn + k1) = O(n)（这里的k和k1都是常数）

所以，这个题的最终时间复杂度是O(n)。

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第二个例子：

n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
tot = 0
for i in range(n):for j in range(n):tot += a[i]*a[j]
print(tot)

这个题的时间复杂度为O(n^2) 。

同样，我来解释一下：

第一行，时间复杂度为O(1);

第二行，时间复杂度为O(n);

第三行，时间复杂度为O(1);

接下来的三行（嵌套循环体），时间复杂度为O(n*n)；

最后一行，时间复杂度为O(1)。

所以它目前的时间复杂度为O(n^2 + n + 3)，然后上面有一个式子：O(k*n^3 + k1*n + 10) = O(n^3)（k和k1是常数），时间复杂度存在多项的情况下，取最高项，所以这个题最终的时间复杂度是O(n^2)。

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第三个例子：

n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
tot = 0
for i in range(n):for j in range(i,n):tot += a[i]*a[j]
print(tot)

这个题和上一个的区别是循环体的内循环初始值变了。

以下是过程：

第一行，时间复杂度为O(1);

第二行，时间复杂度为O(n);

第三行，时间复杂度为O(1);

接下来的三行（嵌套循环体），单独分析一下内容

外循环i = 1，内循环执行（n-1）次；

外循环i = 2，内循环执行（n-2）次；

......

外循环i = n-1，内循环执行1次；

所以它的总时间复杂度为O((1+n-1)*n/2)，即O(n*n/2)。

最后一行，时间复杂度为O(1)。

所以加起来，它的时间复杂度为O(n*n/2 + n + 3)，还是用上面的公式，所以它最终的时间复杂度为O(n^2)。

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第四个例子：

n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
tot = 0
for i in range(n):for j in range(0,n,i):tot += a[i]*a[j]
print(tot)

这个题与第三个题的区别是取值步长不同。分析方法一样。

 我再重复一遍过程，但区别很小。

第一行，时间复杂度为O(1);

第二行，时间复杂度为O(n);

第三行，时间复杂度为O(1);

接下来的三行（嵌套循环体），单独分析一下内容

外循环i = 1，内循环执行n次；

外循环i = 2，内循环执行（n/2）次；

......

外循环i = n，内循环执行（n/n）次；

所以它的时间复杂度为：O(n + n/2 + n/3 + n/4 +...... + n/n) = O(nlog(n))（这是调和级数）

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归并排序时间复杂度 

• T(n)记为n个元素的排序时间
• 归并排序：先把n的问题分解成两个n/2的问题，然后把两个有序list合并。

 （1）先把n的问题分解成两个n/2的问题，T(n/2)*2

   (2)   然后把两个有序list合并,O（n）

• 具体推导过程

       T(n)  = 2T(n/2) + O(n);

       T(n/2)  = 2T(n/4) + O(n/2) ;

       带回：   T(n)  = 4T(n/4) + O(n) + O(n);

       T(n)  = 8T(n/2) + O(n) + O(n) + O(n) = O(nlog(n));

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OK，今天先写到这里，后续我会补充几个例题，下次继续，期末考还没结束，累死了！