荣誉艾尔迪亚人的题解

原题描述：

题目背景

题目描述

输入格式

输出格式

样例

Input 1

Output 1

Input 2

Output 2

数据范围：

样例解释

主要思路：

代码code：

原题描述：

时间限制: 1000ms

空间限制: 65536kb

题目背景

艾尔迪亚人在与巨人的战斗中雷枪发挥了不可磨灭的作用，雷枪之所以能够发挥那么强的作用，是因为雷枪能够牢固的刺入巨人的身体内引爆。雷枪的核心威力来源自火药，而火药的原材料由硫磺、硝石与炭原材料制造而成的，而火药的原材料可以由矿洞产出。

题目描述

小埋是一个艾尔迪亚矿工，挖矿对于小埋来说能获得财富和荣誉（因为要抗击巨人需要大量材料，艾尔迪亚高层要鼓励矿工们多采矿），荣誉值到达一定值可以成为荣誉艾尔迪亚人。

现在小埋挖矿既想获得一定的财富也想获得一定量的荣誉。假设我们已知小埋挖的那部分矿洞有 $n$ 块矿石，并且已知这 $n$ 块矿石的重量 $a_1,a_2,...,a_n$ ，对于每块矿石我们能够获得一些财富值和荣誉值，对于每块矿石的财富值和荣誉值设定如下。

对于第 $i$ 块矿石，它的财富值为前 $i$ 块矿石中以第 $i$ 块矿石结尾的(非严格)递增序列长度最大值。（第 $i$ 块矿石为结尾矿石，就是必须选第 $i$ 块矿石为结尾）。
对于第 $i$ 块矿石，它的荣誉值为第 $i$ 块到第 $n$ 块矿石中以第 $i$ 块矿石为起点的(非严格)递减序列长度最大值。（第 $i$ 块矿石为起点矿石，就是必须选第 $i$ 块矿石为起点）。

小埋想要在自己需要至少获得财富值为 $m$ 荣誉值为 $v$ 的情况下，所挖出矿石总和的最小重量。

输入格式

第一行输入一个整数 $n$ ,表示矿石的数量。

第二行 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$ 分别表示每个矿石的重量。

第三行输入 $m$ 和 $v$ 表示我们需要至少获得的财富值和荣誉值。

输出格式

输出占一行，输出一个整数，表示输出小埋能够在限定条件下，挖出矿石总和的最小重量。

样例

Input 1

5
1 2 2 3 5
5 5

Output 1

Input 2

5
1 2 3 2 1
3 4

Output 2

数据范围：

对于所有测试数据有： $0 \le n \le 10^5,0 \le m*v \le 10^3,1 \le a_i \le 10^9$ 。

样例解释

对于样例1，我们可以选择前四个矿石。
- 以第一个矿石为结尾的(非严格)递增序列为 $[1]$ ,财富值为 $1$ ,以第一个矿石为开头的非严格递减序列为 $1$ ,荣誉值为 $1$ 。
- 以第二个矿石为结尾的非严格递增序列为 $[1,2]$ ,财富值为 $2$ ,以第二个矿石为开头的非严格递减子序列为 $[2,2]$ ,荣誉值为 $2$ 。
- 以第三个矿石为结尾的非严格递增序列为 $[1,2,2]$ ,财富值为 $3$ ,以第三个矿石为开头的非严格递减子序列为 $[2]$ ，荣誉值为 $1$ 。
- 以第四个矿石为结尾的非严格递增序列为 $[1,2,2,3]$ ,财富值为 $4$ ,以第四个矿石为开头的非严格递减子序列为 $3$ ,荣誉值为 $1$ 。
- 所以我们的财富值为 $1+2+3+4 = 10$ ,荣誉值为 $1+2+1+1 = 5$ ,满足我们所需的至少获得财富值为 $5$ ,荣誉值为 $5$ ,并且所挖去的矿石总重量最小。
对于样例2，我们可以选第二个矿石和第五个矿石，第二个矿石重量为 $2$ ,财富值为 $2$ 荣誉值为 $3$ ,第五个矿石重量矿石重量为 $1$ ,财富值为 $2$ ,荣誉值为 $1$ ，我们此时满足至少财富值 $3$ ,且荣誉值为 $4$ 的情况，并且此时总重量最小为 $3$ ,或者我们也可以选择第一块矿石和第二块矿石。

主要思路：

很明显，是最长上升子序列问题+二维费用背包问题。

把第 $i$ 块到第 $n$ 块矿石中以第 $i$ 块矿石为起点的(非严格)递减序列长度最大值。（第 $i$ 块矿石为起点矿石，就是必须选第 $i$ 块矿石为起点）这句话就理解成第i块矿石为结尾，第n块矿石为开头的最长上升子序列，接着后面就是二维费用背包。

但是最长上升子序列朴素版是 $O(n^2)$ ,这里会超时，所以得用二分优化成 $O(n \log_2^n)$

代码code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long tmp[100010],f[100010],f1[100010],a[100010];
long long n;
long long m,v;
long long dp[1010][1010];
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}cin>>m>>v;long long pos=1;tmp[1] = a[1];f[1] = 1;for(int i=2;i<=n;i++){long long l=1,r=pos;while(l<r){long long mid = (l+r+1)/2;if(tmp[mid]<=a[i]){l = mid;}else{r = mid-1;}}if(tmp[l]>a[i]){tmp[l] = a[i];f[i] = l;}else{if(l == pos){tmp[++pos] = a[i];f[i] = pos;}else{tmp[l+1] = a[i];f[i] = l+1;}}}//此时，f[i]就代表已第i个为结尾，第一个为开头的最长上升子序列pos=1;tmp[1] = a[n];f1[n] = 1;for(int i=n-1;i>=1;i--){long long l=1,r=pos;while(l<r){long long mid = (l+r+1)/2;if(tmp[mid]<=a[i]){l = mid;}else{r = mid-1;}}if(tmp[l]>a[i]){tmp[l] = a[i];f1[i] = l;}else{if(l == pos){tmp[++pos] = a[i];f1[i] = pos;}else{tmp[l+1] = a[i];f1[i] = l+1;}}}//同理memset(dp,0x3f,sizeof(dp));//dp初始化dp[0][0] = 0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=0;j--){for(int k=v;k>=0;k--){dp[j][k] = min(dp[j][k],dp[max(j-f[i],0LL)][max(k-f1[i],0LL)]+a[i]);//二维费用背包}}}cout<<dp[m][v];return 0;
}

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