内外参标定常用的工具

如图所示，棋盘格是很常见使用的标定工具
左下角写着棋盘格的参数：30-12×9，表明：棋盘格边长为30mm，共有12×9格，也可以自己数出来

cv::Mat image = cv::imread("Chessboard.png", 0);//读入图片
int width = 11;
int height = 8;
cv::Size board_size = cv::Size(width ， height); // 行列方向内角点数量
std::vector<cv::Point2f> image_points_buff;//保存内角点的向量
cv::findChessboardCorners(image, board_size, image_points_buff,cv::CALIB_CB_ADAPTIVE_THRESH |cv::CALIB_CB_NORMALIZE_IMAGE)；
// 对粗提取的角点精细化，有以下两种方式可供选择
cv::cornerSubPix(image, image_points_buff, cv::Size(3,3), cv::Size(-1, -1),cv::TermCriteria(CV_TERMCRIT_EPS + CV_TERMCRIT_ITER, 30, 0.1));
//cv::find4QuadCornerSubpix(image, image_points_buff, cv::Size(5, 5)); 
cv::Mat image_color;
cv::cvtColor(image, image_color, CV_GRAY2BGR);
cv::drawChessboardCorners(image_color, board_size, image_points_buff, true);

以上代码段需要注意的是：
1)findChessboardCorners函数中填入的是内角点数量，是11×8
2)需要用subpix相应算法进行细化
最终得到的角点图片是这样的：

可以看到，角点的检测结果是有先后顺序的，无论棋盘格如何旋转，角点检测的顺序都是跟下图中一样，注意看1、2、 3、 4四个点对应的红色箭头，四个顶点的特征都是不一致的。
而且下面的结果必成立

这11×8个角点会被存储在image_points_buff数组中
image_points_buff.size() = height; 
image_points_buff[0].size() = width;
image_points_buff[0][0]               //对应下图1号点
image_points_buff[0][width-1]         //对应下图2号点
image_points_buff[height-1][0]        //对应下图3号点
image_points_buff[height-1][width-1]  //对应下图4号点

相机成像原理

相机无畸变模型：

其中，$(U,V,W)$为在世界坐标系下一点的物理坐标，$(u,v)$为该点对应的在像素坐标系下的像素坐标。

将下面的矩阵称为相机的内参矩阵，内参矩阵取决于相机的内部参数。其中，$f$为像距， $dX$ ，$dY$分别表示$X$ ，$Y$方向上的一个像素在相机感光板上的物理长度（即一个像素在感光板上是多少毫米），$u_0{v}_0$分别表示相机感光板中心在像素坐标系下的坐标， $\theta$ 表示感光板的横边和纵边之间的角度（ $90^{°}$表示无误差）。

将矩阵$\left(\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 0\end{array}\right)$称为相机的外参矩阵，外参矩阵取决于相机坐标系和世界坐标系的相对位置，$R$表示旋转矩阵，$T$表示平移矢量。

另外，相机拍摄的图片还存在一定的畸变，畸变包括桶形畸变和枕形畸变。
畸变模型包括径向畸变和切向畸变。

径向畸变公式（3阶）如下：

内外参标定数学原理

张正友标定法标定相机的内外参数的思路如下：

1）求解内参矩阵与外参矩阵的积

2）求解内参矩阵

3）求解外参矩阵