背包问题(贪心) 二维01背包问题 Java

背包问题(贪心)

最优装载问题

题目描述

有n件物品和一个最大承重为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],每件只能用一次,求装入背包的最多物品数量。

题目分析

  • 因为我们只要求装入物品的数量,所以装重的显然没有装轻的划算
  • 因此将数组weight[i]按从小到大排序依次选择每个物品,直到装不下为止,就可以得到装入背包的最多物品数量。

代码

public static int stone(int n, int w, int[] weight) {Arrays.sort(weight);    //将weight数组从小到大排序int max = 0;int num = 0;for(int i = 0; i < n; i++) {if(max + weight[i] <= w){max += weight[i];num += 1;}}return num;
}

01背包问题

与上面的贪心背包问题而言,贪心背包问题中物品的价值就是它的重量。
先前题主做的拿金币问题,也可以说是一道背包问题,不过其中背包的容量是无限的,物品就是金币。

题目描述

有n件物品和一个最大承重为bagweight 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
卡码网第46题

题目分析

显然也是一道动态规划题,也就是说背包问题是动态规划问题的子集,当然这不重要。
我们先观察一下背包的属性:

  • 当前装入物品的个数
  • 当前装入物品的总重量(容量)
  • 当前装入物品的总价值
  • 关键在当前重量的基础上使得价值最高

注:下文基本转述于代码随想录的网站,只加了部分自己的理解

可转到代码随想录的网站去更深刻地理解01背包知识
代码随想录的链接:戳这里进入

老规矩动归五部曲

定义dp数组

定义一个二维数组dp[i][j],将i定义为当前放入了多少个物品,表示

  • 下标为[0-i]的物品里任意取,
  • 放进容量为j的背包
  • 价值总和最大是多少。(dp数组的值)

确定dp数组递归公式

在决定是否放入第i个物品时,显然有两种情况

  • 要么不满足放入第i个物品的情况(当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
  • 要么满足放入第i个物品的情况,此时比较放入前后的价值总和,判断是否要放入。
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i] + value[i];

dp数组的初始化

从dp[i][j]出发,

  1. 当背包容量j为0的时候,则放不下任何物品,背包中价值总和为0;
for (int i = 0 ; i < weight.length; i++) { dp[1][0] = 0;

再看其他情况。

  1. 因为递推公式dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    当中含有i-1,即我们在遍历时肯定从i=1的时候开始遍历,那么物品为0的时候就一定要初始化。
    此时考虑是否可以加入物品0,
    • 当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 为 0
    • 当j >= weight[0]时,dp[0][j] 为value[0]
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++)   // 如果把dp数组预先初始化为0了,这一步可以省略dp[0][j] = 0;for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) dp[0][j] = value[0];
  1. 其他位置可以任意初始化,但是一开始就统一把dp数组统一初始为0,更方便一些。

dp数组的遍历顺序

显然有两个遍历的维度:物品与背包容量
先遍历物品,或先遍历背包容量呢。
这里两种遍历顺序都可以,是因为,递推的方向分别是由上的与由左的到,而两个遍历顺序都是会先得到递推公式需要的旧数据,因此不影响。

//先遍历物品
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}
//先遍历背包容量
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}

举例说明dp数组

代码

import java.util.Arrays;public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};//这里是代码随想录的示范用例int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length;  // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods + 1][bagSize + 1];  // 给物品增加冗余维,i = 0 表示没有物品可选// 初始化dp数组,默认全为0即可// 填充dp数组for (int i = 1; i <= goods; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i - 1]) {  // i - 1 对应物品 i/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候,是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况:*    1、不放物品i*    2、放物品i* 比较这两种情况下,哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j] , dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);  // i - 1 对应物品 i}}}// 打印dp数组for(int[] arr : dp){System.out.println(Arrays.toString(arr));}}
}

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