Python和Java代码实现：切线法求解一维最优化问题

代码实现
- Python代码
- Java代码
求解实例

在这里插入图片描述

根据概念查询，切线法定义如下：
切线法（Tangent Method）是一种用于求解非线性方程的数值方法。它也被称为牛顿法（Newton’s Method），因为它是由艾萨克·牛顿发明的。

牛顿切线法是一种求解方程近似解的数值方法。它利用函数在某一点的切线来逼近函数的零点，从而得到方程的近似解。该方法的原理是：对于一个连续可导的函数，通过对函数图像上某一点处的切线进行截距求解，得到该点处的横坐标，然后将该横坐标代入函数中，得到新的函数值，重复以上步骤，直到函数值足够接近零点为止。

切线法的基本思想是通过在给定点的切线来逼近函数的根。具体来说，如果你有一个非线性方程 $f (x) = 0$ ，并且你想找到该方程的根，你可以从一个初始猜测 $x_0$ 开始，然后通过以下步骤来迭代地逼近解：

在点 $x_0, f(x_0))$ 处画出函数的切线。
找到这条切线与 $x$ 轴的交点，记作 $x_1$ 。
将 $x_1$ 作为新的猜测，回到步骤1，重复这个过程。

这个过程的数学表达式是：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

其中， $x_n$ 是第 $n$ 次迭代的解， $f'(x_n)$ 是函数在 $x_n$ 处的导数。

需要注意的是，这个方法并不总是能够找到解，特别是当初始猜测离解很远，或者函数在解附近的性质使得迭代过程不收敛的时候。在实际应用中，通常会设置一个最大迭代次数和一个足够小的阈值，当连续两次迭代的解之间的差小于这个阈值时，就认为找到了足够精确的解。

我理解的，作者这里应该是首先将求最小值的问题转换成了求一阶导函数等于0的问题，因此是对一阶导函数应用切线法，因此才有一阶导和二阶导的计算

代码实现

Python代码

在这里插入图片描述

# 待优化函数  
def f(t):  return t ** 2 - t * 5 + 8  # 待优化函数一阶导数  
def d_f(t):  return 2 * t - 5  # 待优化函数二阶导数  
def d_2_f(t):  return 2  # 切线法  
def tangent_method(x, eps):  cnt = 0  while abs(-d_f(x) / d_2_f(x)) > eps:  # 更新x，并增加迭代次数  x += -d_f(x) / d_2_f(x)  cnt += 1  return x, f(x), cnt  if __name__ == '__main__':  # 参数设置  left_point = 1  right_point = 7  min_interval_value = 0.1  # 选取初始点  x0 = 6  # 调用切线法求解最小值  best_x, best_y, iter_cnt = tangent_method(x0, min_interval_value)  # 输出最优解  print('best_x: {}, best_y: {}, iter_cnt: {}.'.format(best_x, best_y, iter_cnt))

Java代码

以下的tangentMethod函数为切线法的Java代码。

public class TangentMethod {  public static void main(String[] args) {  // 参数设置  int leftPoint = 1;  int rightPoint = 7;  double minIntervalValue = 0.1;  double x0 = 6.0;  Solution best_solution = tangentMethod(x0, minIntervalValue);  System.out.println("best_x: " + best_solution.best_x);  System.out.println("best_y: " + best_solution.best_y);  System.out.println("cnt: " + best_solution.cnt);  }  // 切线法  private static Solution tangentMethod(double x, double eps) {  // 统计迭代次数  int cnt = 0;  while (Math.abs(df(x) / d2f(x)) > eps) {  // 更新x，并增加迭代次数  x -= df(x) / d2f(x);  cnt ++;  }  // 构造最优解对象  Solution best_solution = new Solution();  best_solution.best_x = x;  best_solution.best_y = f(x);  best_solution.cnt = cnt;  return best_solution;  }  // 待优化函数  private static double f(double t) {  return t * t - t * 5 + 8;  }  // 待优化函数一阶导数  private static double df(double t) {  return t * 2 - 5;  }  // 待优化函数二阶导数  private static double d2f(double t) {  return 2;  }  // 解对象  private static class Solution {  double best_x;  double best_y;  int cnt;  }  
}