傅里叶级数

定义形式

$$f(t)=\frac{1}{2}{\alpha }_0+\sum _{n=1}^{\infty }[{\alpha }_{n}cos(n\omega t)+{\beta }_{n}sin(n\omega t)]$$
其中$\omega =\frac{2\pi }{T}$

求解过程

$${\alpha }_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n\omega t)dt$$
$${\beta }_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n\omega t)dt$$

带入欧拉方程

$$cos(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}$$
$$sin(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}$$
上式带入傅里叶级数可得
$$f(t)=\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{{\alpha }_n-j{\beta }_n}{2}{e}^{jn\omega t}+\frac{{\alpha }_n+j{\beta }_n}{2}{e}^{-jn\omega t})$$
$$=\sum _{-\infty }^{+\infty }(\frac{{\alpha }_n-j{\beta }_n}{2})e^{jn\omega t}$$
整理得：
$$f(t)=\frac{1}{T}\sum _{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn\omega \tau }d\tau ]e^{jn\omega t}$$

非周期连续函数处理

当$f$为非周期函数时可以假设为无穷大
$$f(t)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}\sum _{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn\omega \tau }d\tau ]e^{jn\omega t}$$
$$=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[F({\omega }_n)e^{j{\omega }_{n}t}]$$
以为$T=2\pi /\omega$则上式可以表示为
$$\underset{\omega \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[F({\omega }_n)e^{j{\omega }_{n}t}]d{\omega }_n$$
$$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F({\omega }_n)e^{j{\omega }_{n}t}d{\omega }_n$$

$$F({\omega }_n)=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T/2}^{+T/2}f(\tau )e^{-jn\omega \tau }d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-j{\omega }_n\tau }d\tau$$

非连续函数的采样

采样函数如下所示
$$f_s(t)=\sum _{n=0}^{N}f(t)\delta (t-n{T}_s)$$
其中$f_s$为采样函数，$T_s$为采样周期。函数周期为$N{T}_s$
对其进行傅里叶变换有如下所示：
$$F_s(\omega )={\int }_0^{(N-1)T_s}[\sum _{n=0}^{N-1}f(t)\delta (t-n{T}_s)]e^{-j\omega t}dt$$
由上式可知：
$$F_s(\omega )=\sum _{n=0}^{N-1}f(n{T}_s)e^{-j\omega n{T}_s}$$
其逆变换如下：
$$f_s(t)=\frac{1}{N{T}_s}\sum _{\omega }[\sum _{n=0}^{N-1}f(n{T}_s)e^{-j\omega n{T}_s}]e^{j\omega t}$$