题目

• Problem: 100160. 价值和小于等于 K 的最大数字
• 给你一个整数 k 和一个整数 x 。
• 令 s 为整数 num 的下标从 1 开始的二进制表示。我们说一个整数 num 的 价值 是满足 i % x == 0 且 s[i] 是 设置位 的 i 的数目。
• 请你返回 最大 整数 num ，满足从 1 到 num 的所有整数的 价值 和小于等于 k 。
• 注意：
  • 一个整数二进制表示下 设置位 是值为 1 的数位。
  • 一个整数的二进制表示下标从右到左编号，比方说如果 s == 11100 ，那么 s[4] == 1 且 s[2] == 0 。
  • 1 <= k <= 10 ^ 15
  • 1 <= x <= 8

思路

Java + 二分答案 + 规律

第 1 步：

• 首先 [1, maxNum] 在确定 x 后显然满足"价值和"单调非递减，因此可以二分最大值 maxNum
• 其次需要确定 [1, maxNum] 在确定 x 的"价值和"就行

第 2 步：

• 二分答案确定上下界：
  • k 最小为 1，x 最小为 1 代表每一位均统计，此时结果最小、即下界为 1
  • k 最大为 1e15，x 最大为 8 代表每 8 位统计一次、即每 2^8 个数最少会记录 1 次，此时结果最大，而开始的 [1, 2^8-1] 在 x=8 时不统计，因此上界就是 (k+1)*2^8-1

第 3 步：

• [1, maxNum] 在 x 下的"价值和"可以找规律，我们先写出 [1, 8] 的二进制：
• 0001
• 0010
• 0011
• 0100
• 0101
• 0110
• 0111
• 1000
• 按题意最后一位往前看（可以多写几位来看）：
  • 第 1 位是先零位 0 然后"一位 1 一位 0"的 10 依次循环
  • 第 2 位是先一位 0 然后"两位 1 两位 0"的 10 依次循环
  • 第 3 位是先三位 0 然后"四位 1 四位 0"的 10 依次循环
  • 第 4 位是先七位 0 然后"八位 1 八位 0"的 10 依次循环
• 如果我们前面加上 0，可以得到第 i 位是 “2^(i-1) 位 0 与 2^(i-1) 位 1” 的 01 依次循环

第 4 步：

• 对于 [1, maxNum] 先转化为 [0, maxNum] 总共 maxNum+1 个数，
• 然后循环 long 总共的 63 位 i，当满足 (i % x == 0) 时，记录第 i 位"价值和"，
• 分为前面循环的 1 + 可能有的最后一个不完整的循环 1
• 前面循环的 1，先除循环再乘完整的 1：(maxNum + 1) / 2^i * 2^(i-1)
• 可能有的最后一个不完整的循环 1，先减去完整循环再减去开头的 0：max((maxNum + 1) % 2^i - 2^(i-1), 0)

复杂度

时间复杂度:

时间复杂度： $O(63\ast log(k<<x))$

空间复杂度:

空间复杂度： $O(n)$

Code

class Solution {/*** Java + 二分答案 + 规律：** 第 1 步：* 首先 [1, maxNum] 在确定 x 后显然满足"价值和"单调非递减，因此可以二分最大值 maxNum，* 其次需要确定 [1, maxNum] 在确定 x 的"价值和"就行** 第 2 步：* 二分答案确定上下界：*     * k 最小为 1，x 最小为 1 代表每一位均统计，此时结果最小、即下界为 1*     * k 最大为 1e15，x 最大为 8 代表每 8 位统计一次、即每 2^8 个数最少会记录 1 次，此时结果最大，而开始的 [1, 2^8-1] 在 x=8 时不统计，因此上界就是 (k+1)*2^8-1** 第 3 步：* [1, maxNum] 在 x 下的"价值和"可以找规律，我们先写出 [1, 8] 的二进制：* 0001* 0010* 0011* 0100* 0101* 0110* 0111* 1000* 按题意最后一位往前看（可以多写几位来看）：*     * 第 1 位是先零位 0 然后"一位 1 一位 0"的 10 依次循环*     * 第 2 位是先一位 0 然后"两位 1 两位 0"的 10 依次循环*     * 第 3 位是先三位 0 然后"四位 1 四位 0"的 10 依次循环*     * 第 4 位是先七位 0 然后"八位 1 八位 0"的 10 依次循环* 如果我们前面加上 0，可以得到第 i 位是 "2^(i-1) 位 0 与 2^(i-1) 位 1" 的 01 依次循环，** 第 4 步：* 对于 [1, maxNum] 先转化为 [0, maxNum] 总共 maxNum+1 个数，* 然后循环 long 总共的 63 位 i，当满足 (i % x == 0) 时，记录第 i 位"价值和"，* 分为前面循环的 1 + 可能有的最后一个不完整的循环 1* 前面循环的 1，先除循环再乘完整的 1：(maxNum + 1) / 2^i * 2^(i-1)* 可能有的最后一个不完整的循环 1，先减去完整循环再减去开头的 0：max((maxNum + 1) % 2^i - 2^(i-1), 0)* 时间复杂度：O（63*log（k<<x）），空间复杂度：O（1）**/public long findMaximumNumber(long k, int x) {// 二分答案，确定上下界long left = 1;long right = (k + 1) << x - 1;long res = 1;while (left <= right) {// 避免加法溢出long mid = ((right - left) >> 1) + left;// 获取 [1, mid] 在 x 下的"价值和"long count = getCount(mid, x);if (count <= k) {res = mid;left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return res;}/*** 获取 [1, maxNum] 在 x 下的"价值和"*/private long getCount(long maxNum, int x) {long res = 0;// long 的最大值有 63 位for (int i = 1; i <= 63; i++) {if (i % x == 0) {// 获取每个循环之和res += (maxNum + 1) / (1L << i) * (1L << i - 1);// 获取可能有的最后一个不完整的循环res += Math.max((maxNum + 1) % (1L << i) - (1L << i - 1), 0);}}return res;}
}