扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）：理论、公式和应用
引言
卡尔曼滤波是一种广泛应用于估计动态系统状态的技术，但当系统的动态模型或测量模型是非线性的时候，传统的卡尔曼滤波方法就显得无能为力。扩展卡尔曼滤波通过引入非线性系统的雅可比矩阵，弥补了这一不足，成为处理非线性系统估计的有力工具。本文将介绍扩展卡尔曼滤波的理论基础、数学公式，并通过Python代码示例演示其在一维维系统中的应用。
一、扩展卡尔曼滤波的基本理论
扩展卡尔曼滤波是对传统卡尔曼滤波的一种扩展，主要应用于非线性系统。它通过在卡尔曼滤波的预测和更新步骤中引入非线性映射（对非线性系统采用线性化的方式），解决了卡尔曼滤波在处理非线性问题时的局限性。
二、扩展卡尔曼滤波的数学公式
预测步骤：
-
状态预测：
x ^ k − = f ( x ^ k − 1 , u k − 1 ) \begin{equation}\hat{x}_{k}^- = f(\hat{x}_{k-1}, u_{k-1})\end{equation} x^k−=f(x^k−1,uk−1) -
协方差预测：
P k − = A k P k − 1 A k T + Q k \begin{equation} P_{k}^- = A_{k} P_{k-1} A_{k}^T + Q_{k}\end{equation} Pk−=AkPk−1AkT+Qk其中， A k A_{k} Ak 是状态预测函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅) 的雅可比矩阵，计算公式为：
A k = ∂ f ∂ x ∣ x ^ k − 1 , u k − 1 \begin{equation}A_{k} = \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{\hat{x}_{k-1}, u_{k-1}}\end{equation} Ak=∂x∂f x^k−1,uk−1
更新步骤：
-
卡尔曼增益计算：
K k = P k − H k T ( H k P k − H k T + R k ) − 1 \begin{equation}K_{k} = P_{k}^- H_{k}^T (H_{k} P_{k}^- H_{k}^T + R_{k})^{-1} \end{equation} Kk=Pk−HkT(HkPk−HkT+Rk)−1 -
状态更新：
x ^ k = x ^ k − + K k ( z k − h ( x ^ k − ) ) \begin{equation}\hat{x}_{k} = \hat{x}_{k}^- + K_{k} (z_{k} - h(\hat{x}_{k}^-))\end{equation} x^k=x^k−+Kk(zk−h(x^k−)) -
协方差更新：
P k = ( I − K k H k ) P k − \begin{equation}P_{k} = (I - K_{k} H_{k}) P_{k}^-\end{equation} Pk=(I−KkHk)Pk−其中， H k H_{k} Hk是测量函数 h ( ⋅ ) h(\cdot) h(⋅) 的雅可比矩阵，计算公式为：
H k = ∂ h ∂ x ∣ x ^ k − \begin{equation}H_{k} = \frac{\partial h}{\partial x}\Big|_{\hat{x}_{k}^-} \end{equation} Hk=∂x∂h x^k−
三、扩展卡尔曼滤波与线性卡尔曼滤波的优势对比
扩展卡尔曼滤波相对于线性卡尔曼滤波的优势在于其能够处理非线性系统。线性卡尔曼滤波要求系统的动态模型和测量模型是线性的，而扩展卡尔曼滤波通过引入非线性映射，使得在非线性系统中仍能有效估计状态。
四、扩展卡尔曼滤波的Python代码示例
一维系统应用
# @copyright all reseved
# @author: Persist_Zhang
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef f(x, u):return 0.5 * x + 25 * x / (1 + x**2) + 8 * np.cos(1.2 * u)def h(x):return 0.05 * x**2# 初始化
x_hat = np.array([0.0])
P = np.array([1.0])
Q = 1e-5
R = 0.1# 模拟数据
true_states = [f(x, 0) for x in range(100)]
measurements = [h(x) + np.random.normal(0, np.sqrt(R)) for x in true_states]# 扩展卡尔曼滤波
filtered_states = []for z in measurements:# 预测步骤x_hat_minus = f(x_hat, 0)A = 0.5 - (25 * x_hat) / (1 + x_hat**2)**2 + 8 * np.cos(1.2 * 0)P_minus = A * P * A + Q# 更新步骤H = 0.05 * x_hatK = P_minus * H / (H * P_minus * H + R)x_hat = x_hat_minus + K * (z - h(x_hat_minus))P = (1 - K * H) * P_minusfiltered_states.append(x_hat[0])filtered_states = np.array(filtered_states)# 可视化结果
plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(true_states, label='True States')
plt.plot(measurements, 'ro', label='Measurements')
plt.plot(filtered_states, label='Filtered States')plt.title('Extended Kalman Filtering - 1D System')
plt.legend()
plt.show()
这个示例分别展示了一维系统中扩展卡尔曼滤波的应用。在这个例子中，我们通过引入非线性映射函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅) 和 ( h ( ⋅ ) (h(\cdot) (h(⋅)，以及对应的雅可比矩阵，成功处理了非线性系统的状态估计问题。这突显了扩展卡尔曼滤波在实际应用中的优越性。
结论
扩展卡尔曼滤波（EKF）作为卡尔曼滤波的扩展，成功地解决了处理非线性系统估计的问题，通过引入雅可比矩阵，使得非线性映射能够得到更准确的估计。总体而言，EKF在实际应用中表现出色，为状态估计提供了有效工具。
优势：
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处理非线性系统： EKF能够有效地处理非线性系统，通过引入非线性映射的雅可比矩阵，提高了状态估计的准确性。
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灵活性： 相对于线性卡尔曼滤波，EKF更加灵活，适用于包含一定程度非线性的实际系统。
缺点：
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计算复杂度： EKF的计算复杂度相对较高，特别是在高维系统或强非线性系统中，计算雅可比矩阵和协方差更新可能变得复杂且耗时。
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对初始条件敏感： EKF对初始条件较为敏感，初始估计的准确性直接影响了滤波器的性能。
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线性化误差： 由于是通过线性化非线性映射，EKF可能会引入线性化误差，尤其在非线性变化剧烈的区域。
在应用EKF时，需要权衡计算复杂度和准确性，并根据具体问题调整相关参数，以取得最佳的估计效果。
