动态规划篇-03：打家劫舍

198、打家劫舍

状态转移方程

base case

边界问题就是：走到最后一间房子门口也没抢，那么最终抢到的金额为0

明确状态

“原问题和子问题中会变化的变量”

抢到的金额数就是状态，因为随着在每一件房子门口做选择，抢到的金额数会随之变化

确定选择

“导致状态变化的行为”

在每间房子门口都可以做出两个选择：“抢”或者“不抢”。如果抢了的话那么下一间就不能抢，如果这件不抢的话下一间就可以抢

定义dp函数

根据题意，定义dp(n) 为：n间房子能抢到的最大金额数

此外，还要考虑从第几间房子开始抢。那么dp函数应该有两个参数：从第几间房子开始-start，可抢的房子数组-nums

那么状态转移方程就是：

dp(nums,start) = Math.max(nums[start] + dp(nums,start + 2),dp(nums,start + 1));
//nums[start] + dp(nums,start + 2    表示从第start家开始抢，抢到的金额自然是第start家的金额
//加上从start+2家开始抢得到的金额
//dp(nums,start + 1) 表示第start家不抢了，从下一家开始抢

我们可以看到，这里再次体现了

“[分解问题]的思路可以扩展成动态规划算法。”

我们把“从第start间房子开始抢到的金额”这个问题分解为：“从下下间房子开始抢” 和 “从下一间房子开始抢” 两个子问题

有了状态转移方程，我们就可以写出最基础的暴力递归解法了

暴力递归

class Solution {public int rob(int[] nums) {return dp(nums,0);}/*dp函数表示从第 start 间房子开始抢的最大金额*/int dp(int[] nums,int start){/*如果这排房子从头到尾都挑完了还没开始抢，那就什么也抢不到*///base caseif(start >= nums.length){return 0;}/*在每个房子门前有两种选择，抢 / 不抢*/int res = Math.max(nums[start] + dp(nums,start+2), dp(nums,start+1));return res;}
}

这种解法显然时间复杂度太高。按照我们之前所讲的：通过处理“重叠子问题”来降低时间复杂度

使用了备忘录的从上到下的递归解法

class Solution {public int rob(int[] nums) {int[] memo = new int[nums.length];//初始化备忘录数组Arrays.fill(memo,-1);return dp(nums,0,memo);}int dp(int[] nums,int start,int[] memo){//base caseif(start >= nums.length){return 0;}//如果备忘录中存有这个数值，就直接取用if(memo[start] != -1){return memo[start];}//状态转移方程memo[start] = Math.max(dp(nums,start+1,memo),nums[start] + dp(nums,start+2,memo));return memo[start];}
}

问题1：如何判断该问题是否能够优化？

根据前面的文章我们已将知道：我们可以通过优化“重叠子问题”来降低时间复杂度。那么我们怎么才能知道是否存在“重叠子问题”呢？

抽象出递归框架，先找出 [状态] ，然后根据递归框架看看：如果从一个状态转移到另一个状态有不止一条路径，那么说明存在 [重叠子问题]

使用了dp数组的从下到上的迭代解法

class Solution {/*从下到上的迭代数组解法*/public int rob(int[] nums) {int n = nums.length;//为什么数组长度定义为 n+2？/*dp[i] 表示从第 i 家开始抢劫获得的金额数，0~n*/int dp[] = new int[n + 2];for (int i = n-1; i >= 0; i--) {dp[i] = Math.max(nums[i] + dp[i+2],dp[i+1]);}return dp[0];}
}