509. 斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。
该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你 n ，请计算 F(n) 。示例 1：
输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1示例 2：
输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2示例 3：
输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3提示：
0 <= n <= 30
最原始的递归解法：Fibonacci1
public int fib(int n) {//用这道题目去理解动态规划return dfs(n);}// 时间复杂度：O(2^n)private int dfs(int n) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;int leftFib = dfs(n - 1);int rightFib = dfs(n - 2);return leftFib + rightFib;}
}
利用Map存下已经计算出来的值，消除重复计算。Fibonacci2
public class Fibonacci2 {private Map<Integer, Integer> map;public int fib(int n) {map = new HashMap<>();return dfs(n);}// 时间复杂度：O(n)private int dfs(int n) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;// 先从 Map 中检索子问题的解// 如果已经计算，则直接返回即可if (map.containsKey(n)) {return map.get(n);}int leftFib = dfs(n - 1);int rightFib = dfs(n - 2);// 将计算好的结果放入到 Map 中，编译后续检索map.put(n, leftFib + rightFib);return leftFib + rightFib;}
}如果对空间复杂度要求更高，就可以用数组。Fibonacci3
public class Fibonacci3 {public int fib(int n) {int[] memo = new int[n + 1];//上一个代码的key不会超过n,所以考虑数组方式，因为是求的dfs(n) ,索引为n就是数组长度为 n + 1/** 数组比map要好一些，map的空间复杂度要比数组更大，而且会有hash冲突。对空间要求高就用数组*/Arrays.fill(memo, -1);return dfs(n, memo);}// 时间复杂度：O(n)private int dfs(int n, int[] memo) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;if (memo[n] != -1) {return memo[n];}int leftFib = dfs(n - 1, memo);int rightFib = dfs(n - 2, memo);memo[n] = leftFib + rightFib;return leftFib + rightFib;}
}
状态转移：Fibonacci4
//动态规划包含这四个步骤
public class Fibonacci4 {public int fib(int n) {if (n <= 1) return n;// 1. 定义数组，arr[i] 表示的是数字 i 的斐波那契数int[] arr = new int[n + 1];// 2. 初始化数组元素arr[0] = 0;arr[1] = 1;// 3. 计算数组的元素for (int i = 2; i <= n; i++) {arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];}// 4. 返回最终结果return arr[n];}}
引出动态规划：Fibonacci5
public class Fibonacci5 {// 动态规划的四个步骤public int fib(int n) {if (n <= 1) return n;// 1. 定义状态数组，dp[i] 表示的是数字 i 的斐波那契数int[] dp = new int[n + 1];// 2. 状态初始化dp[0] = 0;dp[1] = 1;// 3. 状态转移for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 4. 返回最终需要的状态值return dp[n];}}
状态空间压缩：Fibonacci6
public class Fibonacci6 { //最终面试官想要的答案 空间复杂度O(1) 时间复杂度O(n)// 状态数组空间压缩public int fib(int n) {if (n <= 1) return n;// 只存储前两个状态int prev = 0;int curr = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = prev + curr;prev = curr;curr = sum;}return curr;}}
