数据的相似度计算

相似度系数又称为相关系数，常用于考察两个变量x、y之间的相关程度。

若为0，则x和y无相关性
若为正，则x和y呈正相关，相关系数在0~1之间
若为负，则x和y呈负相关，相关系数在-1~0之间
相似度系数的绝对值越大，则x和y相关性越强

matlab中，有corr和corr2函数计算相似度系数，并提供了3种相关系数的计算方法：

1. 皮尔逊线性相关系数

皮尔逊线性相关系数是最常用的线性相关系数，皮尔逊线性相关系数 rho(a,b) 定义为：
$rho(a,b)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{(X_{a,i}-\overline{X}_a)(Y_{b,i}-\overline{Y}_b)}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{(X_{a,i}-\overline{X}_a)}^2\sum\limits_{j=1}^n{(Y_{b,j}-\overline{Y}_b)}^2}}\\$
其中 n 为每个列的长度,相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。值 –1 表示完全负相关，而值 +1 表示完全正相关。值 0 表示列之间没有相关性。

四种等效表达式：
$\rho_{X,Y}=\frac{\sum\left(X-\overline{X}\right)(Y-\overline{Y})}{\sqrt{\sum\left(X-\overline{X}\right)^{2}\sum{(Y-\overline{Y})^{2}}}}\\ \\[1cm] \rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}} \\[1cm] \rho_{X,Y}=\frac{N\sum XY-\sum X\sum Y}{\sqrt{N\sum X^2-(\sum X)^2}\sqrt{N\sum Y^2-(\sum Y)^2}} \\[1cm] \rho_{X,Y}=\frac{\sum XY-\sum X\sum Y/N}{\sqrt{\sum X^2-(\sum X)^2/N}\sqrt{\sum Y^2(\sum Y)^2/N}}$

测试案例：

clear,clc,close allt = 0:0.01:1;
x = sin(2*pi*t)+2;
y = 0.95*sin(2*pi*t*0.9)+0.05*sin(2*pi*t)+2;
plot(x)
hold on
plot(y)corr1 = corr(x',y')
corr2 = corr2(x,y)
corr3 = corr_self(x,y)function r = corr_self(x,y)len = length(x);x_ = mean(x);y_ = mean(y);sum1 = 0;sum2 = 0;sum3 = 0;for i = 1:lensum1 = sum1 + (x(i)-x_)*(y(i)-y_);sum2 = sum2 + (x(i)-x_)^2;sum3 = sum3 + (y(i)-y_)^2;endr = sum1 / sqrt(sum2*sum3);
end

2. 肯德尔 tau 相关系数

肯德尔 tau 基于 (i,j) 同序对的计数（其中 i<j），同序是指 $X{a,i}−X{a,j}$ 和 $Y{b,i}−Y{b,j}$
具有相同的符号。肯德尔 tau 方程包括对归一化常量中结值的调整项，通常称为 tau-b。

对于矩阵 X 中的 Xa 列和矩阵 Y 中的 Yb 列，肯德尔 tau 系数定义为：

$rho(a,b)=1-\frac{6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}$

其中， $K=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\xi^*(X_{a,i},X_{a,j},Y_{b,i},Y_{b,j})$ ，并且有：
$\left.\xi^{*k}(X_{a,i},X_{a,j},Y_{b,i},Y_{b,j})=\left\{\begin{array}{lll}1&\text{if}&(X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})>0\\0&\text{if}&(X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})=0\\-1&\text{if}&(X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})<0\end{array}\right.\right.$