题目

• Problem: 100163. 统计强大整数的数目
• 给你三个整数 start ，finish 和 limit 。同时给你一个下标从 0 开始的字符串 s ，表示一个 正 整数。
• 如果一个 正 整数 x 末尾部分是 s （换句话说，s 是 x 的 后缀），且 x 中的每个数位至多是 limit ，那么我们称 x 是 强大的 。
• 请你返回区间 [start…finish] 内强大整数的 总数目 。
• 如果一个字符串 x 是 y 中某个下标开始（包括 0 ），到下标为 y.length - 1 结束的子字符串，那么我们称 x 是 y 的一个后缀。比方说，25 是 5125 的一个后缀，但不是 512 的后缀。
• 1 <= start <= finish <= 10 ^ 15
• 1 <= limit <= 9
• 1 <= s.length <= floor(log10(finish)) + 1
• s 数位中每个数字都小于等于 limit 。
• s 不包含任何前导 0 。

思路

Java + 记忆化搜索的数位 DP 模板 + 特判

第 1 步：

• 根据题意可以想到"记忆化搜素的数位 DP 模板"，

第 2 步：

• 计算 [0, finish] - [0, start-1]，将其置为 maxNum，
• 将 maxNum 中超过 s 的前面位 sChar 取出来，其可以直接套用"记忆化搜索的数位 DP 模板"，
• 注意套用模板时，每一位的上限为 limit，它可能小于 sChar[curIndex]，如果这样后面也是随便，

第 3 步：

• 最后结果加上 0+s 的可能性，
• 判断是否 DP 中是否取了不能取的 sChar+s，是则减去

复杂度

时间复杂度:

时间复杂度： $O(limit\ast log10(finish))$

空间复杂度:

空间复杂度： $O(log10(finish))$

Code

class Solution {/*** Java + 记忆化搜索的数位 DP 模板 + 特判* 第 1 步：* 根据题意可以想到"记忆化搜素的数位 DP 模板"，* ** 第 2 步：* 计算 [0, finish] - [0, start-1]，将其置为 maxNum，* 将 maxNum 中超过 s 的前面位 sChar 取出来，其可以直接套用"记忆化搜素的数位 DP 模板"，* 注意套用模板时，每一位的上限为 limit，它可能小于 sChar[curIndex]，如果这样后面也是随便，* * 第 3 步：* 最后结果加上 0+s 的可能性，* 判断是否 DP 中是否取了不能取的 sChar+s，是则减去* 时间复杂度：O（limit * log10(finish)），空间复杂度：O（log10(finish)）*/public long numberOfPowerfulInt(long start, long finish, int limit, String s) {// 转化为 [0, finish] - [0, start-1]return doNumberOfPowerfulInt(finish, limit, Long.parseLong(s), s)- doNumberOfPowerfulInt(start - 1, limit, Long.parseLong(s), s);}/*** 求出 [0, maxNum] 的结果*/private long doNumberOfPowerfulInt(long maxNum, int limit, long sLong, String s) {if (sLong > maxNum) {return 0;}// 将 maxNum 中超过 s 的前面位 sChar 取出来，其可以直接套用"记忆化搜素的数位 DP 模板"sChar = (maxNum + "").substring(0, (maxNum + "").length() - s.length()).toCharArray();int m = sChar.length;// 记忆化搜索：超过 s 的前面位memo = new long[m];// 初始化，-1 表示没有计算过Arrays.fill(memo, -1);// 记忆化搜素的数位 DP 模板，注意 0+s 可能可以long res = recursionDigitDP(0, limit, true, false) + 1;// s 大于 maxNum 对应的位置，sChar 均不大于 limit，此时 DP 中取了不能取的 sChar+sif (checkNotEquals(maxNum, limit, sLong, s)) {res--;}System.out.println("res:" + res);return res;}private boolean checkNotEquals(long maxNum, int limit, long sLong, String s) {String maxNumStr = maxNum + "";long sLenMaxNum = Long.parseLong(maxNumStr.substring(maxNumStr.length() - s.length()));// s 大于 maxNum 对应的位置if (sLong > sLenMaxNum) {for (int i = 0; i < maxNumStr.length() - s.length(); i++) {if (maxNumStr.charAt(i) - '0' > limit) {return false;}}// sChar 均不大于 limitreturn true;}return false;}private char sChar[];private long memo[];/*** 数位 DP 模板：记忆化搜索获取合法数字的个数* @param curIndex 从 i 位开始填数字* @param isLimit 前面填写的数字是否与 sChar 对应上，如果为 true 当前最大为 int(sChar[i])，否则当前最大为 limit* @param isNum 前面是否填写过数字（即处理前导零用），如果为 true 当前可以从 0 开始，否则可以 跳过 或 从 1 开始* @return 返回合法数字的个数*/private long recursionDigitDP(int curIndex, int limit, boolean isLimit, boolean isNum) {/*** 仅有此位置最终定义是否合法* isNum 为 true 表示得到了一个合法数字*/if (curIndex == sChar.length) {return isNum ? 1 : 0;}// isLimit 为 true（前面与 sChar 一样）以及 isNum 为 false（前面全没有填）仅有一种情况，不需要记忆化if (!isLimit && isNum && memo[curIndex] != -1) {return memo[curIndex];}long res = 0;// isNum：前面是否填写过数字（即处理前导零用），可以跳过当前数位if (!isNum) {res = recursionDigitDP(curIndex + 1, limit, false, false);}/*** 判断最大值* isLimit：前面填写的数字是否与 sChar 对应上，如果为 true 当前最大为 int(sChar[i])，否则当前最大为 limit（否则就超过 n 啦）*/int up = isLimit ? Math.min(sChar[curIndex] - '0', limit) : limit;// 枚举要填入的数字 d，isNum：如果为 true 当前可以从 0 开始，否则可以 跳过 或 从 1 开始for (int d = isNum ? 0 : 1; d <= up; d++) {// 由于最大值可能小于 sChar[curIndex]，如果这样后面也是随便选因此返回 falseres += recursionDigitDP(curIndex + 1, limit, isLimit && d == up && up == sChar[curIndex] - '0', true);}// 记忆化入数组if (!isLimit && isNum) {memo[curIndex] = res;}return res;}
}