线性代数 --- 为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

        一方面,对于LU分解而言,下三角阵L是对高斯消元过程的记录,是高斯消元的逆过程,是多个消元矩阵E的逆矩阵E^{-1}的乘积(形如下图中的下三角矩阵),即:

L={E_{1}}^{-1}*{E_{2}}^{-1}*{E_{3}}^{-1}*{E_{4}}^{-1}....

        另一方面,根据矩阵的乘法原则两个矩阵A和B的乘积C中的元素C_{ij},来自于矩阵A中第i行元素与矩阵B中第j列元素的乘积。

例如,在本例中矩阵C中的C12等于矩阵A第一行和矩阵B第二列的乘积。 

        如果把这个规律放到矩阵L的计算中就会发现,在计算L矩阵中主对角线上元素时,其他部分都是0,最终只剩1。

例如:

\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ X& 1 & 0 & 0\\ X& X & 1&0 \\ X& X & X&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ Y& 1 & 0 & 0\\ Y& Y & 1&0 \\ Y& Y & Y&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{bmatrix}

        以4x4矩阵为例,不论这两个矩阵中的X和Y是多少,主对角线上的元素一定是1。我们以L_{22}的计算为例(其他也相仿),他等于前一个矩阵的第2行,乘以后面矩阵的第2列:

L_{22}=X*0+1*1+0*Y+0*Y=0+1+0+0=1


(全文完)

作者 --- 松下J27 

 参考文献(鸣谢):

1,https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

2,线性代数 --- LU分解(Gauss消元法的矩阵表示)_矩阵的lu分解-CSDN博客

(配图与本文无关) 

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