二分查找及其复杂的计算

(一)二分查找及其实现

二分查找,也称为折半查找,是一种高效的搜索算法,用于在有序数组(或有序列表)中查找特定元素的位置。

二分查找的基本思想是将待查找的区间不断地二分,然后确定目标元素位于左半部分还是右半部分,从而缩小查找范围。具体步骤如下:

  1. 确定初始的查找区间,一般为整个数组或列表。
  2. 找到待查找区间的中间位置(mid)。
  3. 比较中间位置的元素与目标元素的大小关系:
    • 如果中间位置的元素等于目标元素,直接返回该位置。
    • 如果中间位置的元素大于目标元素,说明目标元素可能位于左半部分,将查找区间缩小为左半部分。
    • 如果中间位置的元素小于目标元素,说明目标元素可能位于右半部分,将查找区间缩小为右半部分。
  4. 在新的查找区间上重复步骤2和步骤3,直到找到目标元素或者确定目标元素不存在(即查找区间为空)为止。

二分查找的时间复杂度为O(log n),其中n表示数组或列表的长度。相比线性查找的O(n)时间复杂度,二分查找的效率更高。但要注意,二分查找要求数组或列表是有序的,否则无法正确进行查找。

需要特别注意的是,二分查找适用于静态查找(即不会频繁插入、删除元素)的情况,并且要求查找的数据结构支持随机访问。对于动态变化的数据集,如链表,二分查找并不适用。

代码如下:

#include <stdio.h>
int BinarySearch(int arr[], int n, int x)
{int right = n;int left = 0;while (left < right){int mid = left + ((right - left) >> 1);if (arr[mid] > x)right = mid;else if (arr[mid] < x)left = mid + 1;elsereturn mid;//当arr[mid]==x时,返回下标}return -1;//没找到返回-1
}
int main()
{int arr[10] = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 };int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);int ret = BinarySearch(arr, n, 6);printf("目标元素的下标是:%d\n", ret);return 0;
}

        

 (二)二分查找的复杂度

想要得到二分查找的复杂度,仅仅看代码是不能得到正确的答案的,要分析代码的逻辑。

查找最多次的情况有两种:第一种是该数列中没有目标数据;第二种是最后一次才找到目标数据(其实就是目标数据在最左面或最右面)。

有代码可知,一次得到mid再进行判断,可以排除一半的数据。可以设经过x次求mid和判断,能够找到目标数据。

展开的思想:

找到目标数据,最终得到一个数据,一次排除一半的数据,也就意味着倒数第二次的数据个数(排除前)是最后一次的数据个数的二倍,而倒数第三次的数据个数是倒数第二次数据个数的二倍……

依次类推,直到展开得到第一次二分前的数据个数,而这个数据个数就是所有的数据个数,也即N个。所以有以下等式:

1*2*2*2……*2=N

2^x=N

得到 x = log2n,也即时间复杂度为O(log2n).

从二分查找的时间复杂度可以看出,二分查找的效率是十分高的,但是使用二分查找算法需要先做好排序的准备工作。

因此,二分查找的时间复杂度为O(log n),其中n为待查找区间的长度。

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