题目

• Problem: 1349. 参加考试的最大学生数
• 给你一个 m * n 的矩阵 seats 表示教室中的座位分布。如果座位是坏的（不可用），就用 ‘#’ 表示；否则，用 ‘.’ 表示。
• 学生可以看到左侧、右侧、左上、右上这四个方向上紧邻他的学生的答卷，但是看不到直接坐在他前面或者后面的学生的答卷。请你计算并返回该考场可以容纳的同时参加考试且无法作弊的 最大 学生人数。
• 学生必须坐在状况良好的座位上。
• seats 只包含字符 ‘.’ 和’#’
• m == seats.length
• n == seats[i].length
• 1 <= m <= 8
• 1 <= n <= 8

思路

Java + 按行状压暴力 + DP：

第 1 步：

• 首先思考每个好座位选或不选的 DFS 暴力求解，会超时
• 其次分析题意可知，仅有相邻两行之间有限制，
• 因此可以想到将行拆开，仅每一行去暴力所有可能，使用 DP 判断相邻两行的限制即可

第 2 步：

• 每行暴力：
• 每行遍历从 0 到 (2 ^ n) - 1 的数字 seat，seat 转化为二进制、1 代表有人，
• isRowUsableSeat 行内满足要求：遍历每个 1 相邻左侧没有 1 且 每个 1 均是好座位，
• 此 seat 代表该行内部满足条件，

第 3 步：

• DP 判断两行的限制：
• 定义状态：dp[i][seat] 代表前 i 行中，第 i 行座位为 seat 时的最大学生数
• 初始化：dp[0][isRowUsableSeat(seat)] = countOne(seat)（seat 中 1 个个数），代表第一行没有限制
• 状态转移方程：
  • dp[i][isRowUsableSeat(seat)] = countOne(seat) + max(isCrossUsableSeat(0, seat)?dp[i-1][0]):0 , … , isCrossUsableSeat((2 ^ n) - 1, seat)?dp[i-1][(2 ^ n) - 1]:0)
• 其中 isCrossUsableSeat(seat1, seat2) 代表两行（seat1-上一行、seat2-下一行）是否满足要求，即 seat2 每个 1 的下标 col、在 seat1 中 col-1 与 col+1 都不存在 1

第 4 步：

• 预处理所有 isCrossUsableSeat，
• 由于 i 仅与 i-1 相关，因此使用滚动数组即可

复杂度

时间复杂度:

时间复杂度： $O((m+n)\ast 2^{2n})$

空间复杂度:

空间复杂度： $O(n\ast 2^{2n})$

Code

class Solution {/*** Java + 按行状压暴力 + DP：** 第 1 步：* 首先思考每个好座位选或不选的 DFS 暴力求解，会超时* 其次分析题意可知，仅有相邻两行之间有限制，* 因此可以想到将行拆开，仅每一行去暴力所有可能，使用 DP 判断相邻两行的限制即可** 第 2 步：* 每行暴力：* 每行遍历从 0 到 (2 ^ n) - 1 的数字 seat，seat 转化为二进制、1 代表有人，* isRowUsableSeat 行内满足要求：遍历每个 1 相邻左侧没有 1 且 每个 1 均是好座位，* 此 seat 代表该行内部满足条件，** 第 3 步：* DP 判断两行的限制：* 定义状态：dp[i][seat] 代表前 i 行中，第 i 行座位为 seat 时的最大学生数* 初始化：dp[0][isRowUsableSeat(seat)] = countOne(seat)（seat 中 1 个个数），代表第一行没有限制* 状态转移方程：dp[i][isRowUsableSeat(seat)] = countOne(seat) * + max(isCrossUsableSeat(0, seat)?dp[i-1][0]):0 , ... , isCrossUsableSeat((2 ^ n) - 1, seat)?dp[i-1][(2 ^ n) - 1]:0)* 其中 isCrossUsableSeat(seat1, seat2) 代表两行（seat1-上一行、seat2-下一行）是否满足要求，即 seat2 每个 1 的下标 col、在 seat1 中 col-1 与 col+1 都不存在 1** 第 4 步：* 预处理所有 isCrossUsableSeat，* 由于 i 仅与 i-1 相关，因此使用滚动数组即可* 时间复杂度：O（(m + n) * 2 ^ 2n），空间复杂度：O（n * 2 ^ 2n）**/public int maxStudents(char[][] seats) {int m = seats.length;int n = seats[0].length;int seatTotal = 1 << n;// 预处理所有 isCrossUsableSeatboolean[][] crossUsableSeat = preCrossUsableSeat(seatTotal);int[][] dp = new int[2][seatTotal];// 初始化for (int j = 0; j < seatTotal; j++) {// 第 0 行满足 isRowUsableSeatif (isRowUsableSeat(seats[0], j)) {dp[0][j] = countOne(j);}}// 状态转移方程：dp[i][isRowUsableSeat(seat)] = countOne(seat) // + max(isCrossUsableSeat(0, seat)?dp[i-1][0]):0 , ... , isCrossUsableSeat((2 ^ n) - 1, seat)?dp[i-1][(2 ^ n) - 1]:0)for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 0; j < seatTotal; j++) {// 第 i 行内满足条件if (isRowUsableSeat(seats[i], j)) {int countOneJ = countOne(j);for (int k = 0; k < seatTotal; k++) {// 第 i 行与 i-1 行满足条件if (crossUsableSeat[j][k]) {dp[i & 1][j] = Math.max(dp[i & 1][j], dp[(i - 1) & 1][k] + countOneJ);}}}}}int res = 0;for (int j = 0; j < seatTotal; j++) {res = Math.max(res, dp[(m - 1) & 1][j]);}return res;}/*** 遍历每个 1：相邻左侧没有 1 且 每个 1 均是好座位*/private boolean isRowUsableSeat(char[] seats, int seat) {for (int i = 0; (1 << i) <= seat; i++) {if (((1 << i) & seat) > 0) {if (seats[i] == '#' || ((1 << i + 1) & seat) > 0) {return false;}}}return true;}/*** 预处理所有 isCrossUsableSeat，*/private boolean[][] preCrossUsableSeat(int seatTotal) {boolean[][] crossUsableSeat = new boolean[seatTotal][seatTotal];// seat2 每个 1 的下标 col、在 seat1 中 col-1 与 col+1 都不存在 1for (int seat1 = 0; seat1 < seatTotal; seat1++) {for (int seat2 = 0; seat2 < seatTotal; seat2++) {if (isCrossUsableSeat(seat1, seat2)) {crossUsableSeat[seat1][seat2] = true;}}}return crossUsableSeat;}private boolean isCrossUsableSeat(int seat1, int seat2) {for (int bitNum = (seat2 & -seat2); bitNum > 0; bitNum = (seat2 & -seat2)) {if ((bitNum != 1 && (seat1 & (bitNum >> 1)) > 0) || ((seat1 & (bitNum << 1)) > 0)) {return false;}seat2 -= bitNum;}return true;}/*** 二进制 1 的个数*/private int countOne(int seat) {int res = 0;while (seat > 0) {seat &= seat - 1;res++;}return res;}
}