最优化学习笔记(五)——牛顿法(多维数据)

    在最优化学习系列中,第一次就说的是牛顿法,但是那是在一维搜索上的,它其实就是将函数fx处利用泰勒公式展开,得到它的近似函数,进而求解最小值。本节内容主要说明牛顿法在多维数据上的迭代公式。最优化学习笔记中讲到的最速下降法是一种速度比较快的优化方法,但是最速下降法只用到了函数的一阶导数,这种方法并不总是最高效的。而这里说的牛顿法用到了二阶导数,它的效率可能比最速下降法更优。
    当目标函数f:RnR上二阶连续可微时,将函数fx(k)处进行泰勒展开,并且不考虑三阶及以上的项,那么可得到函数f的二阶近似项:

f(x)f(x(k))+(xx(k))Tg(k)+12(xx(k))TF(x(k))(xx(k))=q(x)

其中,g(k)=f(x(k)),F(x(k))f(x(k))黑塞矩阵,将q应用局部极小点的一届必要条件:

0=q(x)=g(k)+F(x(k))(xx(k))

如果 F(x(k))>0, 则函数 q的极小值点为:
x(k+1)=x(k)F(x(k))1g(k)

     需要说明的是,在上述过程中,需要求解一个n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3483">n</script>维的线性齐次方程组,这对效率很有影响,应该设计一个更为高效的方法。如果黑塞矩阵是非正定的,那么牛顿法也将存在问题,后边也将会针对问题提出相应的修正方法。

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