一、牛顿法存在的问题

    在单变量的情况下，如果函数的二阶导数$f''<0$，牛顿法就无法收敛到极小点。类似的，在多变量的情况下，目标函数的hessian矩阵$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})$非正定，牛顿法的搜索方向并不一定是目标函数值的下降方向。甚至在某些情况下$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)}) > 0$， 牛顿法也不具有下降特性。比如，当初始点远离目标函数极小值点时，就有可能出现这种情况。
    牛顿法虽然有上述缺陷，但是如果初始点离极小值点比较近，牛顿法将表现出相当好的收敛特性。

二、两个定理

    首先选定目标函数为二次型函数$f$,牛顿法只需一次迭代就可以从任意点收敛到极小点。令目标函数如下：

$$f(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{2}\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{b}$$
它的梯度和hessian矩阵分别是：

$$\boldsymbol{g(x)} = \nabla f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Q}$$
当 $\nabla f(\boldsymbol{x}) =0$时，可求得 $f$的极小值点$\boldsymbol{x}^*$，且 $\boldsymbol{x}^* = \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{b}$。
利用牛顿法迭代公式可得：
$$\boldsymbol{x}^{(1)} = \boldsymbol{x}^{(0)} - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(0)})^{-1}\boldsymbol{g(x^{(0)})} \\ =\boldsymbol{x}^{(0)} - \boldsymbol{Q}^{-1}[\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}^{(0)}-\boldsymbol{b}]\\ =\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{b}\\ =\boldsymbol{x}^*$$
下边直接给出定理1：
定理1 函数$f$三阶连续可微，点$\boldsymbol{x}^* \in \mathbb{R} ^n$满足$\nabla f(\boldsymbol{x}^*) =\boldsymbol{0}$, 且$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^*)$ 可逆，那么对于所有与$\boldsymbol{x}^*$,足够接近的$\boldsymbol{x}^{(0)}$, 牛顿法能够正常运行，且至少以阶数2的收敛率收敛到$\boldsymbol{x}^*$。

    上述定理证明略过。上述定理说明如果初始点离极小值点比较近，牛顿法将表现出相当好的收敛特性。否则，可能导致hessian矩阵为奇异矩阵，方法失效。

先给出定理2，然后再解决上述问题。
定理2 {$\boldsymbol{x}^{(k)}$}是为利用牛顿法求解目标函数$f(\boldsymbol{x})$极小点时得到的迭代点序列，如果$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)}) > 0$且$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}^{(k)}) = \nabla \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}^{(k)}) \neq \boldsymbol{0}$,那么从点$\boldsymbol{x}^{(k)}$到点$\boldsymbol{x}^{(k+1)}$的搜索方向

$$\boldsymbol{d}^{(k)} = -\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})^{-1}\boldsymbol{g(x^{(k)})} \\ = \boldsymbol{x}^{(k+1)} - \boldsymbol{x}^{(k)}$$
是一个下降方向，即存在一个$\bar{a}>0$,使得对于所有$\alpha \in (0, \bar{a})$, 都有
$$f(\boldsymbol{x}^{(k)}+\alpha \boldsymbol{d}^{(k)}) < f(\boldsymbol{x}^{(k)})$$
成立。

三、牛顿法的修正

    根据定理2， 可以对牛顿法的修正如下：

$$\boldsymbol{x}^{(k+1)} = \boldsymbol{x}^{(k)} - \alpha_k \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})^{-1}\boldsymbol{g(x^{(k)})}$$
其中，
$$\alpha_k = \arg \min_{\alpha \ge 0} f(\boldsymbol{x}^{(k)} - \alpha \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})^{-1}\boldsymbol{g(x^{(k)})})$$
也就是说，每一次的迭代都在方向 $- \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})^{-1}\boldsymbol{g(x^{(k)})})$上开展一次一维搜索，由此确定每次搜索的步长。修正的牛顿法具有下降特性，当 $\boldsymbol{g(x^{(k)})} \neq \boldsymbol{0}$时，有：
$$f(\boldsymbol{x}^{(k+1)}) < f(\boldsymbol{x}^{(k)})$$

四、修正后存在的问题

    当目标函数维数比较大时，计算hessian矩阵需要计算量比较大，况且还要求解线性方程组$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})\boldsymbol{d}^{(k)} = -\boldsymbol{g(x^{(k)})}$,这个问题后续继续讨论。
    牛顿法隐含的另外一个问题是hessian矩阵可能不是正定矩阵。