全源最短路径之弗洛伊德算法（C语言）

Floyd（弗洛伊德）算法

该算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
时间复杂度为 O（N^3）
空间复杂度为 O（N^2）
Floyd算法蕴涵了动态规划的思想，
简单说：从任意节点i到任意节点j的最短路径存在两种可能

直接从i到j
i经过若干个节点k到j

所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于Dijkstra算法
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法代码如下：

void Floyd(AdjMatrix *G)
{int A[MaxVertices][MaxVertices],path[MaxVertices][MaxVertices];int i,j,k;//初始化for (i=0;i<G->numV;i++){for (j=0;j<G->numV;j++){A[i][j]=G->Edge[i][j];path[i][j]=-1;}}
//三重循环，floyd算法核心for (k=0;k<G->numV;k++){for (i=0;i<G->numV;i++){for (j=0;j<G->numV;j++){if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;}}}}Dispath(A,path,G->numV);//输出函数
}

输出函数包括两部分

void Ppath(int path[][MaxVertices],int i,int j)
{int k;k=path[i][j];if (k==-1){return;}Ppath(path,i,k);printf("%d->",k);Ppath(path,k,j);
}void Dispath(int A[][MaxVertices],int path[][MaxVertices],int n)
{int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){if (A[i][j]==INF){if (i!=j){printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);}}else{printf("  从%d到%d的最短路径长度为：%d ",i,j,A[i][j]);printf("路径：%d->",i);Ppath(path,i,j);//两点i,j之间还有其他中继结点，则循环套用次函数printf("%d\n",j);}}}
}

具体代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertices 100 //假设包含100个顶点
#define MaxWeight 32767 //不邻接时为32767，但输出时用 "∞"
#define MAXV 10
#define INF 32767
typedef struct{ //包含权的邻接矩阵的的定义char Vertices[MaxVertices];  //顶点信息的数组int Edge[MaxVertices][MaxVertices]; //边的权信息的数组int numV; //当前的顶点数int numE; //当前的边数
}AdjMatrix;void CreateGraph(AdjMatrix *G) //图的生成函数
{ int n,e,vi,vj,w,i,j;printf("请输入图的顶点数和边数（以空格分隔）：");scanf("%d%d",&n,&e);G->numV=n;G->numE=e;for(i=0;i<n;i++) //图的初始化for(j=0;j<n;j++){ if(i==j)G->Edge[i][j]=0;else G->Edge[i][j]=32767;}for(i=0;i<n;i++)for(i=0;i<G->numV;i++) //将顶点存入数组中{ printf("请输入第%d个顶点的信息(整型):",i+1);  // G->adjlist[i].vertex=getchar(); scanf(" %c",&G->Vertices[i]);}printf("\n");for(i=0;i<G->numE;i++){ printf("请输入边的信息i,j,w(以空格分隔):");scanf("%d%d%d",&vi,&vj,&w); //若为不带权值的图，则w输入1//若为带权值的图，则w输入对应权值G->Edge[vi-1][vj-1]=w;//①G->Edge[vj-1][vi-1]=w;//②//无向图具有对称性的规律，通过①②实现//有向图不具备此性质，所以只需要①}
}
void DispGraph(AdjMatrix G) //输出邻接矩阵的信息
{ int i,j;printf("\n输出顶点的信息（整型）:\n");for(i=0;i<G.numV;i++)printf("%8c",G.Vertices[i]);printf("\n输出邻接矩阵:\n");printf("\t");for(i=0;i<G.numV;i++)printf("%8c",G.Vertices[i]);for(i=0;i<G.numV;i++){ printf("\n%8d",i+1);for(j=0;j<G.numV;j++){ if(G.Edge[i][j]==32767) //两点之间无连接时权值为默认的32767，但输出时为了方便输出 "∞"printf("%8s", "∞");elseprintf("%8d",G.Edge[i][j]);}printf("\n");   }
}
void Ppath(int path[][MaxVertices],int i,int j)
{int k;k=path[i][j];if (k==-1){return;}Ppath(path,i,k);printf("%d->",k);Ppath(path,k,j);
}void Dispath(int A[][MaxVertices],int path[][MaxVertices],int n)
{int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){if (A[i][j]==INF){if (i!=j){printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);}}else{printf("  从%d到%d的最短路径长度为：%d ",i,j,A[i][j]);printf("路径：%d->",i);Ppath(path,i,j);//两点i,j之间还有其他中继结点，则循环套用次函数printf("%d\n",j);}}}
}
void Floyd(AdjMatrix *G)
{int A[MaxVertices][MaxVertices],path[MaxVertices][MaxVertices];int i,j,k;//初始化for (i=0;i<G->numV;i++){for (j=0;j<G->numV;j++){A[i][j]=G->Edge[i][j];path[i][j]=-1;}}
//三重循环，floyd算法核心for (k=0;k<G->numV;k++){for (i=0;i<G->numV;i++){for (j=0;j<G->numV;j++){if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;}}}}Dispath(A,path,G->numV);//输出函数
}int main()
{ AdjMatrix G;freopen("1.txt","r",stdin);CreateGraph(&G);Floyd(&G);DispGraph(G);
}