1、最优化问题建模
最优化问题的三要素是决策变量、目标函数和约束条件。
（1）分析影响结果的因素是什么，确定决策变量
（2）决策变量与优化目标的关系是什么，确定目标函数
（3）决策变量所受的限制条件是什么，确定约束条件
最优化问题的建模，通常按照以下步骤进行：
（1）问题定义，确定决策变量、目标函数和约束条件；
（2）模型构建，由问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
（3）模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果；
（4）模型检验，统计检验和灵敏度分析。
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2、线性规划
线性规划（Linear programming），是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的优化方法，常用于解决利用现有的资源得到最优决策的问题。
线性规划模型的一般形式如下：
min fx = c1*x1 + …+ cn*xn
s.t. a11*x1+…+a1n*Xn ≤ b1
…
am1*x1+…+amn*Xn ≤ bm
x1≥0,…,xn≥0
其中：fx 是目标函数，求最小值；x1,…xn 是决策变量；aij, bi 是不等式约束的参数。
3、Scipy 求解线性规划
Python 的 SciPy 库带有用于解决线性编程问题的 linprog 函数。
linporg 函数对于线性规划模型的描述为：
min fx = C’*X fx 是目标函数
s.t. A_ub*X <= B_ub 不等式约束
A_eq*X = B_eq 等式约束
lb <= X <= ub 取值范围
其中：
fx 是目标函数，求最小值；
X 是决策变量，向量；
C 是目标函数的参数向量；
A_ub 是不等式约束的参数矩阵，B_ub 是不等式约束的参数向量；
A_eq 是等式约束的参数矩阵，B_eq 是等式约束的参数向量；
lb,ub 是参数向量，(lb,ub) 是 X 的取值范围。
注意：
（1）问题表示为：求 fx 的最小值，如果问题要求 fx 的最大值则要通过 fx‘= -fx 将问题转化为求 fx’ 的最小值；
（2）不等式约束条件表示为：小于等于，如果约束条件为大于等于则要通过不等式两侧乘以 -1 将约束条件转化为小于等于的形式。
linporg 函数求解线性规划问题的输出参数为：
con: 等式约束的残差（名义上为 0），B_eq - A_eqX
fun: 目标函数的当前值（最小值），C’X
message: 算法状态描述
nit: 当前迭代次数
slack: 不等式约束的松弛值，B_ub - A_ubX
status: 算法退出时的状态，0：优化完成，1：达到最大迭代次数，2：不可行，3：不收敛，4：数值困难
success: 当算法成功完成时为 True
x: 当前解，向量
4 实例
4.1 问题模型：
max fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3s.t. x1 + x2 + x3 = 72*x1 - 5*x2 + x3 >= 10x1 + 3*x2 + x3 <= 12x1, x2, x3 >=0
4.2 模型转换：
首先要将求解问题的模型转化为 Linprog 的标准形式：
（1）求最大值问题要转换为求最小值问题：C = [-2, 3, 5]
（2）当约束条件为 大于等于 时要加负号：A_ub = [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]
（3）由 x1,x2,x3>=0 和 x1+x2+x3=7 可知：0 <= x1,x2,x3 <= 7
4.3 python 程序：
import numpy as np # 导入 numpy
from scipy.optimize import linprog # 导入 scipyc = np.array([-2, -3, 5])
A_ub = np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]) # 不等式约束参数矩阵
B_ub = np.array([-10, 12]) # 不等式约束参数向量
A_eq = np.array([[1, 1, 1]]) # 等式约束参数矩阵
B_eq = np.array([7]) # 等式约束参数向量
x1 = (0, 7) # x1 的取值范围，lb1 < x1 < ub1
x2 = (0, 7) # x2 的取值范围，lb2 < x2 < ub2
x3 = (0, 7) # x3 的取值范围，lb3 < x3 < ub3
res = linprog(c, A_ub, B_ub, A_eq, B_eq, bounds=(x1, x2, x3))
print(res)
4.4 运行结果：
con: array([1.19830306e-08])fun: -14.57142854231215message: 'Optimization terminated successfully.'nit: 5slack: array([-3.70231543e-08, 3.85714287e+00])status: 0success: Truex: array([6.42857141e+00, 5.71428573e-01, 9.82192085e-10])
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Crated：2021-04-28
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