白话(whitening)

白化

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1 介绍
2 2D 的例子
3 ZCA白化
4 正则化
5 中英文对照
6 中文译者

介绍

我们已经了解了如何使用PCA降低数据维度。在一些算法中还需要一个与之相关的预处理步骤，这个预处理过程称为白化（一些文献中也叫sphering）。举例来说，假设训练数据是图像，由于图像中相邻像素之间具有很强的相关性，所以用于训练时输入是冗余的。白化的目的就是降低输入的冗余性；更正式的说，我们希望通过白化过程使得学习算法的输入具有如下性质：(i)特征之间相关性较低；(ii)所有特征具有相同的方差。

2D 的例子

下面我们先用前文的2D例子描述白化的主要思想，然后分别介绍如何将白化与平滑和PCA相结合。

如何消除输入特征之间的相关性? 在前文计算 $\textstyle x_{\rm rot}^{(i)} = U^Tx^{(i)}$ 时实际上已经消除了输入特征 $\textstyle x^{(i)}$ 之间的相关性。得到的新特征 $\textstyle x_{\rm rot}$ 的分布如下图所示：

这个数据的协方差矩阵如下：

$\begin{align}\begin{bmatrix}7.29 & 0 \\0 & 0.69\end{bmatrix}.\end{align}$

(注: 严格地讲, 这部分许多关于“协方差”的陈述仅当数据均值为0时成立。下文的论述都隐式地假定这一条件成立。不过即使数据均值不为0，下文的说法仍然成立，所以你无需担心这个。)

$\textstyle x_{\rm rot}$ 协方差矩阵对角元素的值为 $\textstyle \lambda_1$ 和 $\textstyle \lambda_2$ 绝非偶然。并且非对角元素值为0; 因此, $\textstyle x_{{\rm rot},1}$ 和 $\textstyle x_{{\rm rot},2}$ 是不相关的, 满足我们对白化结果的第一个要求 (特征间相关性降低)。

为了使每个输入特征具有单位方差，我们可以直接使用 $\textstyle 1/\sqrt{\lambda_i}$ 作为缩放因子来缩放每个特征 $\textstyle x_{{\rm rot},i}$ 。具体地，我们定义白化后的数据 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}} \in \Re^n$ 如下：

$\begin{align}x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i}}. \end{align}$

绘制出 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ ，我们得到:

这些数据现在的协方差矩阵为单位矩阵 $\textstyle I$ 。我们说， $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 是数据经过PCA白化后的版本: $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。

白化与降维相结合。如果你想要得到经过白化后的数据，并且比初始输入维数更低,可以仅保留 $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中前 $\textstyle k$ 个成分。当我们把PCA白化和正则化结合起来时(在稍后讨论)， $\textstyle x_{{\rm PCAwhite}}$ 中最后的少量成分将总是接近于0，因而舍弃这些成分不会带来很大的问题。

ZCA白化

最后要说明的是，使数据的协方差矩阵变为单位矩阵 $\textstyle I$ 的方式并不唯一。具体地，如果 $\textstyle R$ 是任意正交矩阵，即满足 $\textstyle RR^T = R^TR = I$ (说它正交不太严格， $\textstyle R$ 可以是旋转或反射矩阵), 那么 $\textstyle R \,x_{\rm PCAwhite}$ 仍然具有单位协方差。在ZCA白化中，令 $\textstyle R = U$ 。我们定义ZCA白化的结果为：

$\begin{align}x_{\rm ZCAwhite} = U x_{\rm PCAwhite}\end{align}$

绘制 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ ，得到:

可以证明，对所有可能的 $\textstyle R$ ，这种旋转使得 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ 尽可能地接近原始输入数据 $\textstyle x$ 。

当使用 ZCA白化时(不同于 PCA白化)，我们通常保留数据的全部 $\textstyle n$ 个维度，不尝试去降低它的维数。

正则化

实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时，有时一些特征值 $\textstyle \lambda_i$ 在数值上接近于0，这样在缩放步骤时我们除以 $\sqrt{\lambda_i}$ 将导致除以一个接近0的值；这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。因而在实践中，我们使用少量的正则化实现这个缩放过程，即在取平方根和倒数之前给特征值加上一个很小的常数 $\textstyle \epsilon$ ：

$\begin{align}x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i + \epsilon}}.\end{align}$

当 $\textstyle x$ 在区间 $\textstyle [-1,1]$ 上时, 一般取值为 $\textstyle \epsilon \approx 10^{-5}$ 。

对图像来说, 这里加上 $\textstyle \epsilon$ ，对输入图像也有一些平滑(或低通滤波)的作用。这样处理还能消除在图像的像素信息获取过程中产生的噪声，改善学习到的特征(细节超出了本文的范围)。

ZCA 白化是一种数据预处理方法，它将数据从 $\textstyle x$ 映射到 $\textstyle x_{\rm ZCAwhite}$ 。事实证明这也是一种生物眼睛(视网膜)处理图像的粗糙模型。具体而言，当你的眼睛感知图像时，由于一幅图像中相邻的部分在亮度上十分相关，大多数临近的“像素”在眼中被感知为相近的值。因此，如果人眼需要分别传输每个像素值（通过视觉神经）到大脑中，会非常不划算。取而代之的是，视网膜进行一个与ZCA中相似的去相关操作 (这是由视网膜上的ON-型和OFF-型光感受器细胞将光信号转变为神经信号完成的)。由此得到对输入图像的更低冗余的表示，并将它传输到大脑。