数值代数–理查森外推法

实验四

一、实验名称

理查森外推算法

二、实验目的与要求：

实验目的：掌握理查森外推算法。

实验要求：1. 给出理查森外推算法思路，

2. 用C语言实现算法，运行环境为Microsoft Visual C++。

三、算法思路：

1. 假设函数泰勒展开式可表示为 和，将两式相减，消去偶数项，则，整理得到下式，记L表示，表示微分形式，则有 (1)用h/2代替h，有 (2)，由(1)(2)两式子有推广这种方法，就是理查森外推法了。

2. 理查森外推法公式 , , 用下列公式计算，k=1,2,…,M，n=k,k+1,…，M。 则有，当n和k足够大时D(n,k)可充分接近。

3. 上机算法 input h , M

for n=0 to M do

D(n , 0)

end do

for k=1 to M do

for n=k to M do end do

end do

output D(n , k)

四、实验题目：

五、问题的解：

编写程序(程序见后面附录)，输出结果如下：

分析得到的结果，发现在对角线附近D(n , k)的值越来越稳定，通过上面算法阐述，我们知道D(n , k)应该是越来越接近我们想求到的导数的，与实验结果一致。

六、附录：

实验编程，运行环境为Microsoft Visual C++

#include

#include

#include

double f1(double x) //定义函数f1(x)//

{double y;

y=(log(3.0+x)-log(3.0-x))/(2.0*x);

return(y);

}

double f2(double x) //定义函数f2(x)//

{double y;

y=(tan(asin(0.8)+x)-tan(asin(0.8)-x))/(2.0*x);

return(y);

}

double f3(double x) //定义函数f3(x)//

{double y;

y=(sin(x*x+x/3.0)-sin(x*x-x/3.0))/(2.0*x);

return(y);

}

void main()

{

double D1[4][4],D2[5][5],D3[6][6];

int i,j;

for(i=0;i<=3;i++) /*第一个问题的理查森算法*/

D1[i][0]=f1(1.0/pow(2,i));

for(j=1;j<=3;j++)

for(i=j;i<=3;i++)

D1[i][j]=D1[i][j-1]+(D1[i][j-1]-D1[i-1][j-1])/(pow(4,j)-1);

printf("第一道题结果：\n");

for(i=0;i<=3;i++)

{for(j=0;j<=i;j++)

printf("%0.12f ",D1[i][j]);

printf("\n");

}

for(i=0;i<=4;i++) /*第二个问题的理查森算法*/

D2[i][0]=f2(1.0/pow(2,i));

for(j=1;j<=4;j++)

for(i=j;i<=4;i++)

D2[i][j]=D2[i][j-1]+(D2[i][j-1]-D2[i-1][j-1])/(pow(4,j)-1);

printf("第二道题结果：\n");

for(i=0;i<=4;i++)

{for(j=0;j<=i;j++)

printf("%0.12f ",D2[i][j]);

printf("\n");

}

for(i=0;i<=5;i++) /*第三个问题的理查森算法*/

D3[i][0]=f3(1.0/pow(2,i));

for(j=1;j<=5;j++)

for(i=j;i<=5;i++)

D3[i][j]=D3[i][j-1]+(D3[i][j-1]-D3[i-1][j-1])/(pow(4,j)-1);

printf("第三道题结果：\n");

for(i=0;i<=5;i++)

{for(j=0;j<=i;j++)

printf("%0.12f ",D3[i][j]);

printf("\n");

}

}