习题十
:
等价关系与等价类
‘
‘
1
．设
R
和
R
是集合
A
上的等价关系，用例子证明
R R
不一定是等价关系。
2
．试问由
4
个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少
3
．给定集合
S
=
｛
1
，
2
，
3
，
4
，
5
｝，找出
S
上的等价关系
R
，此关系
R
能够产生划分｛
｛
1
，
2
｝，｛
3
｝，｛
4
，
5
｝｝并画出关系图。
4
．设
R
是一个二元关系，设
S
｛
a,b
|
对于某一
c
，有
a, c
R
且
c,b
R
｝
，证
明若
R
是一个等价关系，则
S
也是一个等价关系。
5
．设正整数的序偶集合
A
，在
A
上定义的二元关系
R
如下：
x, y , u, v
R,
当且仅当
xv
yu
，证明
R
是一个等价关系。
6
．设
R
是集合
A
上的对称和传递关系，证明如果对于
A
中的每一个元素
a
，在
A
中同时也
存在一个
b
，使
a, b
在
R
之中，则
R
是一个等价关系。
7
．设
R
1
和
R
2
是非空集合
A
上的等价关系，确定下述各式，哪些是
A
上的等价关系，对不
是的提供反例证明。
a)
( A A) R
1
b)
R
1
R
2
c)
R
1
2
d)
r (R
1
R
2
)
(
即
R
1
R
2
的自反闭包
)
。
8
．
设
C
*
是
实
数
部
分
非
零
的
全
体
复
数
组
成
的
集
合
，
C
*
上
关
系
R
定
义
为
：
(
a
b
i
) R(c
d
i
)
ac
0
，证明
R
是等价关系，并给出关系
R
的等价类的几何说明。
9
．设
和
‘
A
‘
和
诱导的等价关系，那
是非空集合
上的划分，并设
R
和
R
是分别由
么，
细分
的充要条件是
R R
。
10
．设
R
j
表示
I
上的模
j
等价关系，
R
k
表示
I
上的模
k
等价关系，
证明
I
/
R
k
细分
I
/
R
j
当且仅当
k
是
j
的整数倍。
11
．
A
，
B
是全集
E
的子集，各命题及由这些命题构成的集合
X
如下所示。
X
p, q, r, s, t,u, v, w, y, z
，其中
)
