一、 问题描述

有阻尼受迫振动的结构及基本原理

图一 有阻尼的受迫振动系统

图1为有阻尼的受迫振动系统，质量为M，摩擦系数为B， 弹簧倔强系数为K。拉力、摩擦力和弹簧力三都影响质量为M的物体的加速度。如果系统的能量守恒，且振动一旦发生，它就会持久的、等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减直至最终停止，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力、液体与气体的介质阻力、电磁阻力以及材料变形时的内阻力等作用。物体在驱动力作用下的振动是受迫振动。

二、 模型分析与建立

利用牛顿运动定律，建立系统的力平衡微分方程如下：

Mdxdt

22

B

dxdt

Kx f(t)

(1)

式中的f (t)是一个外加的激励力，如果 f (t) =F0 sinωt，则称为谐激励力，其中ω为外施激励频率，t是持续时间。故(1)式又可写成：

Mdxdt

22

B

dxdt

Kx F0sinwt

(2)

wn

2

(2)式是一个线性非齐次方程。令B/M = 2n(n为阻尼系数))，K/M=

n

(

wn

为固有振动频率)，ξ = wn为相对阻尼系数或阻尼比，则(2)式可写为：

dx

2

2 dt

2n

dxdt

wnx hsin(wt)

2

(3)

根据阻尼对系统振动的影响，振动响应分为弱阻尼(ξ＜1)、(强阻尼ξ＞1)和临界阻尼(ξ=1)三种情况。这里仅讨论弱阻尼的情况。在弱阻尼情况下的振动为响应：x=Ae-ξwnt sin ( 1－ξ2wn t +φ ) +A1 sin (wt+θ) (4) 谐迫振动的主要特性有：

(1)式(4)包括瞬态与稳态响应两部分，其中瞬态响应是一个有阻尼的谐振。振动频率为系统固有频率wn，振幅A与初相位角 决定初始条件，振幅的衰减按