详解最短路算法模板(dijkstra+floyd+spfa)

1.Floyd_Warshall算法

核心思路：d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}
从i到j有两种路径，经过k点或是不经过k点，所以我们枚举k即可求所有路的最短路。
适用范围：求任意两点间的最短路，可以有负权，可以是有向图可以是无向图，但是n必须在200以内

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <vector>
#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int main()
{int n, m, s, t;while(~scanf("%d%d", &n, &m)){vector<vector<int> > dis(n);//vector二维可变长数组for(int i = 0; i < n; i++){dis[i].resize(n, INF);//初始化设置dis[i]的长度，并用INF作为初始值dis[i][i] = 0;}for(int i = 0; i < m; i++)//输入边a,b两点的权值是x{int a, b, x;scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);if(dis[a][b] > x)dis[a][b] = dis[b][a] = x;}scanf("%d%d", &s, &t);for(int k = 0; k < n; k++)for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++){if(dis[i][k] < INF && dis[k][j] < INF)dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);}if(dis[s][t] != INF)//可以求任意两点间最短路printf("%d\n", dis[s][t]);elseprintf("-1\n");}return 0;
}

2.Dijkstra算法

核心思路:
D(s, t) = {Vs … Vi … Vj … Vt}表示s到t的最短路，其中i和j是这条路径上的两个中间结点，那么D(i, j)必定是i到j的最短路，如果存在这样一条最短路D(s, t) = {Vs … Vi Vt}，其中i和t是最短路上相邻的点，那么D(s, i) = {Vs … Vi} 必定是s到i的最短路。Dijkstra算法就是基于这样一个性质，通过最短路径长度递增，逐渐生成最短路。
适用情况：
正权图上的单元最短路，有向图无向图，从单个源点出发到所有结点的最短路

设起始点为s
清除所有点的标记
设dis[s] = 0,其他dis[i] = INF
循环n次
{ 在所有未标记的节点中，选出dis值最小的节点X给节点X标记对于从X出发可以到达的点y，更新dis[y] = min{dis[y], dis[x]+w(x,y)}
}

邻接矩阵实现：

void dijkstra(int s)//s是起点
{memset(dis, INF, sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis);vis[s] = 1;dis[s] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)//执行n-1轮{int min_dis = INF;int x;for(int j = 1; j <= n; j++)//寻找所有集合外的点到集合距离最小的点x{if(!vis[j] && min_dis > dis[j]){x = j;min_dis = dis[j];}}vis[x] = 1;//然后把X加入到最短路点集中for(int j = 1; j <= n; j++)//更新集合外点到集合的距离{if(!vis[j])dis[j] = min(dis[j], dis[x] + mapp[x][j]);//x到j的距离+dis[x]}}
}

优先队列优化版

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <vector>
#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;
const int maxn = 105;
int dis[maxn], pre[maxn];struct Edge//边 
{int u, v, w;Edge() {};Edge(int uu, int vv, int ww): u(uu), v(vv), w(ww) {};
};vector<Edge> edges;//边数组 
vector<int> G[maxn];//存储每个节点对应的边的序号 void init(int nn)//清理 
{for(int i = 0; i <= nn; i++)G[i].clear();edges.clear();
}void AddEdge(int uu, int vv, int ww)//加边 
{edges.push_back(Edge(uu, vv, ww));int edgenum = edges.size();G[uu].push_back(edgenum - 1);
}struct node//优先队列优化，dis小的先出队 
{int u, d;node() {};node(int uu, int dd): u(uu), d(dd) {};friend bool operator < (node a, node b){return a.d > b.d;}
};void dijkstra(int s)
{priority_queue<node> q;memset(dis, INF, sizeof(dis));//dis初始化为INF dis[s] = 0;q.push(node(s, dis[s]));while(!q.empty()){node cur = q.top();q.pop();int from = cur.u;if(cur.d != dis[from])//减少了vis数组，表示该节点被取出来过 continue;for(int i = 0; i < G[from].size(); i++)//更新所有集合外点到集合的dis {Edge e = edges[G[from][i]];if(dis[e.v] > dis[e.u] + e.w){dis[e.v] = dis[e.u] + e.w;pre[e.v] = from;//存储父节点 q.push(node(e.v, dis[e.v]));//将有更新的dis加入到队列中 }}}
}
int main()
{int n, m;while(~scanf("%d%d", &n, &m) && n && m){init(n);for(int i = 0; i < m; i++){int u, v, w;scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);AddEdge(u, v, w);AddEdge(v, u, w);}dijkstra(1);printf("%d\n", dis[n]);}return 0;
}

3.SPFA算法

核心思路：

设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
适用情况：可以正权可以有负权，有向图无向图，从单个源点出发到所有结点的最短路

代码参考：
https://blog.csdn.net/Since_natural_ran/article/details/52955460

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int dis[105],visit[105];
int n,m;class Node
{
public:int e,v;Node(int a,int b){e = a,v = b;}
};vector<Node>s[105];void spfa()
{memset(dis,inf,sizeof(dis));memset(visit,0,sizeof(visit));dis[1] = 0;queue<int>q;q.push(1);visit[1] = true;while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();visit[u] = false;int num = s[u].size();for(int i = 0;i < num; i++){if(dis[u] + s[u][i].v > dis[s[u][i].e])continue;dis[s[u][i].e] = dis[u] + s[u][i].v;if(!visit[s[u][i].e]){q.push(s[u][i].e);visit[s[u][i].e] = true;}}}
}int main()
{//   freopen("in.txt","r",stdin);while(cin>>n>>m){if(n == 0 && m == 0)break;for(int i = 1;i <= n; i++)s[i].clear();int a,b,c;for(int i = 1;i <= m; i++){cin>>a>>b>>c;s[a].push_back(Node(b,c));s[b].push_back(Node(a,c));//这里无向}spfa();cout<<dis[n]<<endl;}return 0;
}