第32节 -正则化之代价函数(2)

参考视频: 7 - 2 - Cost Function (10 min).mkv

上面的回归问题中如果我们的模型是：

我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于 0 的话，我们就能很好的拟合了。

所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数θ 的值，这就是正则化的基本方法。我们决定要减少 θ3 和 θ4 的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中 θ3 和 θ4 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的θ3 和 θ4。修改后的代价函数如下：

通过这样的代价函数选择出的θ3和 θ4对预测结果的影响就比之前要小许多。假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：

其中λ 又称为正则化参数(Regularization Parameter)。 注：根据惯例，我们不对 θ0 进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：

如果选择的正则化参数λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 hθ(x)=θ0，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。

那为什么增加的一项

可以使 θ 的值减小呢？因为如果我们令λ的值很大的话，为了使 Cost Function 尽可能的小，所有的 θ 的值(不包括θ0)都会在一定程度上减小。但若λ的值太大了，那么θ(不包括 θ0)都会趋近于 0，这样我们所得到的只能是一条平行于 x 轴的直线。所以对于正则化，我们要取一个合理的λ的值，这样才能更好的应用正则化。回顾一下代价函数，为了使用正则化，让我们把这些概念应用到到线性回归和逻辑回归中去，那么我们就可以让他们避免过度拟合了。