假期过长，导致停更了好长时间，复习一道算法题找找感觉。
前段时间看到一篇文章，里面提到了统治世界的十大算法，其中之一就是迪杰斯特拉算法(Dijkstra)，该算法主要解决的”最短路径“这一类问题。说法虽然夸张了点，但它在实际生活中确实应用广泛，例如地图软件等，大部分游戏中自动寻路等功能，使用到的 A*搜索算法也是基于迪杰斯特拉算法优化而来。那么迪杰斯特拉算法是如何实现的呢？
假如我们现在有如下一个有向图，图中有 6 个顶点，编号分别为 1~6，带有箭头的直线表示的是能从一个顶点到达另外一个顶点，直线上的数字表示的是两个顶点之间的距离，现在求顶点 1 到顶点 6 的最短距离。
由于图中的点比较少，我们直接手动计算就能算出来这个结果，但是如果顶点很多，有成千上万个，手动计算就很难了，我们只能通过程序来计算，那么我们的程序该如何写呢？
思路
从图中我们可以看到，顶点 1 只能直接到达顶点 2、3、5，不能直接到达顶点 6，所以要想从 1 到达 6，就必须得从其他顶点中转。
我们定义一个数组，用来表示每个顶点到顶点 1 的距离，数组的索引表示的是顶点编号，数组元素的值表示的是到顶点 1 的最小距离。
开始我们在顶点 1 上，顶点 1 能到达 2、3、5，数组的状态如下。
索引 1 2 3 4 5 6 最小距离 0 60 10 null 50 null 从顶点 2 处中转，顶点 2 能到达顶点 4，距离为 35，所以顶点 1 到顶点 4 的距离为 60+35=95，数组状态如下：
| 索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小距离 | 0 | 60 | 10 | 95 | 50 | null |
- 从顶点 3 处中转，顶点 3 能到达 4，距离为 30。如果通过顶点 3 中转，那么 1 到达 4 的距离为 40，小于经过 2 中转的距离，所以数组中到顶点 4 的距离更新为 40。顶点 3 还能到达顶点 5，同理，通过顶点 2 中转，1 到达 5 的距离为 10+25=35，小于 1 直接到达 5 的距离，因此数组中到达顶点 5 的距离更新为 35，更新后，数组状态如下：
| 索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小距离 | 0 | 60 | 10 | 40 | 35 | null |
- 从顶点 5 中转，顶点 5 能到达 2，如果顶点 1 通过顶点 5 到达 2，距离为 35+30=65，大于顶点 1 直接到达 2，所以不更新。由于顶点 2 在前面已经遍历过它能到达哪些点了，所以后面不需要再遍历它。顶点 5 还能到达顶点 6，所以此时 1 到达 6 的距离为 35+105=140，数组状态如下：
| 索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小距离 | 0 | 60 | 10 | 40 | 35 | 140 |
- 从顶点 4 中转，顶点 4 也能达到顶点 6。如果通过顶点 4 中转，那么 1 到达 6 的距离为 40+15=55，这个距离小于从 5 中转，所以更新数组，更新后，数组状态如下：
| 索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小距离 | 0 | 60 | 10 | 40 | 35 | 55 |
以上流程，就是迪杰斯特拉算法在计算最短路径问题时的核心流程。
代码实现
首先我们需要将这个有向图用代码表示出来，通常表示图的方法有两种：第一种是邻接矩阵(也就是二维数组)，第二种是邻接表(也就是数组+链表)，这里我们选用邻接表法来表示一个有向图。
另外我们还需要定义顶点之间的边，一条边有起点和终点，还有边的权重信息，也就是长度，用类 Edge 表示。代码如下：
private class Edge {
// 起始定点
public int s;
// 终止定点
public int t;
// 边的权重
public int weight;
Edge(int s, int t, int weight) {
this.s = s;
this.t = t;
this.weight = weight;
}
}
有向图我们用类 Graph 表示，类中有两个属性：顶点个数 v 和描述顶点之间边的信息的数组 adj，我们还提供了一个方法：addEdge，用来在两个顶点之间添加一条边。代码如下：
public class Graph {
// 顶点个数(顶点编号从0开始，在本文例子中，编号为0的顶点不存在)
private int v;
// 记录每个顶点的边
private LinkedList[] adj;public Graph(int v) {this.v = v;// 初始化this.adj = new LinkedList[v];for (int i = 0; i adj[i] = new LinkedList();
}
}// 添加一条边，从s到达tpublic void addEdge(int s, int t, int weight) {
Edge edge = new Edge(s, t, weight);
adj[s].add(edge);
}
}定义好了图的描述信息后，接下来通过代码来实现迪杰斯特拉算法，其代码和注释如下。
有两处逻辑稍微解释一下。第一处：flag 数组记录的是已经遍历过的顶点，用来防止死循环，例如顶点 1 能到达 2，我们接着会判断 2 能到达哪些点，顶点 1 又能到达 5，5 也能到达 2，如果没有 flag 数组来记录顶点 2 我们已经遍历过了，那么我们就会继续遍历 2，这样会导致死循环。第二处：predecessor 数组记录的是路径信息，数组的索引表示的顶点编号，元素的值表示的是哪一个顶点到达当前顶点的，例如：predecessor[3]=1 表示的是通过顶点 1 到达的顶点 3。
// 采用迪杰斯特拉算法找出从s到t的最短路径
public void dijkstra(int s, int t) {
int[] dist = new int[v]; // 记录s到每个顶点的最小距离，数组下标表示顶点编号，值表示最小距离
boolean[] flag = new boolean[v]; // 记录遍历过的顶点，数组下标表示顶点编号，值表示是否遍历过该顶点
for (int i = 0; i dist[i] = Integer.MAX_VALUE; // 初始状态下，将顶点s到其他顶点的距离都设置为无穷大
}
int[] predecessor = new int[v]; // 记录路径，索引表示顶点编号，值表示到达当前顶点的顶点是哪一个
Queue queue = new LinkedList<>();
queue.add(s);
dist[s] = 0; // s->s的路径为0while (!queue.isEmpty()) {
Integer vertex = queue.poll();if (flag[vertex]) continue; // 已经遍历过该顶点，就不再遍历
flag[vertex] = true;for (int i = 0; i Edge edge = adj[vertex].get(i);if (dist[vertex] // 如果出现了比当前路径小的方式，就更新为更小路径
dist[edge.t] = dist[vertex] + edge.weight;
predecessor[edge.t] = vertex;
}
queue.add(edge.t);
}
}// 打印路径
System.out.println("最短距离：" + dist[t]);
System.out.print(s);
print(s, t, predecessor);
}print 函数的作用是打印从顶点 s 到达顶点 t 的最短路径中，需要经过哪些点，具体代码如下，就是一个递归调用，比较简单：
// 打印路径
private void print(int s, int t, int[] predecessor) {
if (t == s) {
return;
}
print(s, predecessor[t], predecessor);
System.out.print(" -> " + t);
}
测试
根据文中的示例，构建一个图，进行结果测试，代码如下：
public static void main(String[] args) {
// 构建图
Graph graph = new Graph(7);
graph.addEdge(1, 2, 60);
graph.addEdge(1, 3, 10);
graph.addEdge(1, 5, 50);
graph.addEdge(2, 4, 35);
graph.addEdge(3, 4, 30);
graph.addEdge(3, 5, 25);
graph.addEdge(4, 6, 15);
graph.addEdge(5, 2, 30);
graph.addEdge(5, 6, 105);
// 计算最短距离
graph.dijkstra(1, 6);
}
测试结果：
总结
迪杰斯特拉算法的思想与广度优先搜索(BFS)的思路比较像，每次找到自己能到达的顶点，然后依次往外扩散，直到遍历完所有顶点。
