r语言中残差与回归值的残差图_用R语言做回归分析_iris数据集/longley数据集

机器学习课程2  回归分析

【题目1】

使用R对内置鸢尾花数据集iris(在R提示符下输入iris回车可看到内容)进行回归分析，自行选择因变量和自变量，注意Species这个分类变量的处理方法。

解答：

1.iris数据集介绍

鸢尾花(iris)是数据挖掘常用到的一个数据集，包含150种鸢尾花的信息，每50种取自三个鸢尾花种之一(setosa,versicolour或virginica)。每个花的特征用下面的5种属性描述萼片长度(Sepal.Length)、萼片宽度(Sepal.Width)、花瓣长度(Petal.Length)、花瓣宽度(Petal.Width)、类(Species)。

观察这5个变量，我们发现Species是字符变量、非连续，难以直接进行线性分析。故首先应对定义哑变量处理离散变量Species。

在这里了我参考了“练数成金”论坛数据分析与数据挖掘技术板块

“fjchenxd”的文章

http://www.dataguru.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=265621

以及“夕阳无语”的文章

http://www.dataguru.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=262887

2    样本多重线性检查

2.1  求方阵,并对其标准化、中心化

2.2  求方阵的条件数，即kappa值

kappa = 291.2384,易知100kappa1000,多重共线性处于可忍受范围。

2.3  求解矩阵的特征值与相应的特征根

3.   一元线性回归分析

3.1         观察散点图

通过plot(iris_demo)命令，我们目测得到Petal.Width与Petal.Length有很强的线性关系。

3.2   对Petal.Width与Petal.Length做一元线性回归分析

我们发现回归系数中，截距与因变量都有3颗*，t值很大，Pr值很小，拒绝系数不正确的假设检验。

相关系数平方：0.9271，数据相当好。

3.3   对Petal.Width与Petal.Length做一元线性回归诊断

P  = 1.68e-08 <0.05，具有统计学意义，拒绝原假设，说明自变量Petal.Width不服从正态分布。(?)

残差图正常，模型的残差服从正态分布。

结论：

综上，关于Petal.Width与Petal.Length的一元线性回归模型样本服不服从正态分布假设，误差满足独立性，等方差。线性回归模型的系数通过假设检验，相关系数平方和接近1。

此一元线性回归模型合理有效。

4 多元线性回归分析

4.1变量进行逐步回归

4.2  多元线性回归模型的探索

4.2.1 包含全部变量

回归系数中Petal.length和isVerisicolor只有一颗星，而根据step结果，如果去掉这两个，AIC值只会从-389增大到-386，所以尝试去掉这两个值:

去掉Petal.Length和 isVersicolor后，截距的假设检验效果提升至两颗*，但Petal.Width的Pr值反而增大。更严重的是，相关系数平方和从0.6352降至0.5871。效果反而变差。

4.2.2尝试加上二次项

增加了Sepal.Length^2项后，相关系数提升到了0.6365。

4.2.3 增加乘积项

在增加了乘积项后，多元线性回归模型更加合理。

4.2.4 在所有变量的基础上直接加乘积项

此模型的相关系数0.6728，相比4.2.3的模型更好，但是变量isVersicolor假设检验只有一颗* .

5. 回归诊断

对4.2.3与4.2.4的两个多元线性回归模型进行回归诊断：

5.1 变量正态分布检验

对变量进行正态分布检验，P值均小于0.05，拒绝了原假设(样本服从正态分布)。

5.2  残差图

(1)4.2.3 多元线性回归模型残差图

(2)4.2.4 多元线性回归模型残差图

由以上两幅图可知残差分布正常，服从正态分布。

结论：

综上，采用4.2.4回归模型更优。

【题目2】

使用R对内置longley数据集进行回归分析，如果以GNP.deflator作为因变量y，问这个数据集是否存在多重共线性问题？应该选择哪些变量参与回归？

解答：

1.    longley数据集

1.1  longley数据集简介

Longley数据集来自J．W．Longley(1967)发表在JASA上的一篇论文，是强共线性的宏观经济数据,包含GNP deflator(GNP平减指数)、GNP(国民生产总值)、Unemployed(失业率)、ArmedForces(武装力量)、Population(人口)、year(年份)，Emlpoyed(就业率)。

LongLey数据集因存在严重的多重共线性问题，在早期经常用来检验各种算法或计算机的计算精度。

1.2   观察散点图

通过散点图观察，我发现变量GNP.deflator、GNP、Population、Employed

分别与year的函数图像趋势相近，可能隐含多重共线性。

2.   样本多重共线性检查

2.1  求方阵,并对其标准化、中心化

2.2  求方阵的条件数，即kappa值

kappa = 14550.47, kappa1000,多重共线性非常严重。

2.3  求解矩阵的特征值与相应的特征根

2.4 删选变量

可以看到变量4,5,6的特征值都非常小，逐步缩小所取变量数：

故删除变量Population,Year,Employed，只选取1:4共4个变量：

3.   逐步删选变量

3.1 原始模型

可以看到此回归模型自变量Uemployed，Armed.Froces没有很好地拒绝假设检验。

3.2  使用step函数逐步回归分析

逐步回归分析显示减去Armed.Forces和Uemployed变量，对AIC的影响不大

3.3 去掉Armed.Forces和Uemployed的线性模型

以上线性回归模型截距与回归系数均有3颗*，很好的拒绝了假设检验。

同时线性相关系数平方：0.9832，模型线性程度非常高。

4.   样本回归诊断

4.1 样本正态分布假设检验

由正态假设检验可得：自变量GNP的p值>0.5接受了假设检验，符合正态分布;

因变量GNP.deflator的p值 = 0.4268<0.5,具有较强统计学意义，拒绝了假设检验。

4.2  残差分析

结论：

线性回归模型 lm(formula = GNP.deflator ~ GNP, data =long_1)符合正态分布假设，误差满足独立性，等方差，不存在多重共线性。

回归系数Pr值很小，拒绝假设检验(假设系数不正确)，相关系数十分接近1。

综上，该线性模型合理。

【题目3】(可选)对课程幻灯片里的top1000 sites(数据集上传在课程资源里)分析进行改进，使到带pageviews的预测模型的检验指标比幻灯片里所显示的更加理想

1.    读入top_1000数据集

2.    定义哑变量

3.     多元线性回归分析

无截距多元线性回归模型：

formula= log(PageViews) ~ HasAdvertisingYes + HasAdvertisingNo+ log(UniqueVisitors) +InEnglishYes                      + InEnglishNo – 1

该回归模型相关系数平方：0.9969，数据令人满意。但是自变量中有多余变量。

4.  逐步回归分析

逐步回归分析结果：

根据逐步回归分析结果编写新模型：

5.    结论：

log(PageView)~1.164519*log(UniqueVisitors) + 1.006265*InEnglishNo-

0.311884*HasAdvertisingNo

各自变量拒绝系数不正确的假设检验，Multiple R-squared结果高达0.9969。

该模型相较于课堂所讲模型，更具合理性！

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