计算机数学基础课件教学课件作者刘树利11课件.ppt

第十一章　线性方程组 第十一章　线性方程组 后页 首页 前页 后页 首页 前页 基本要求、重点难点 11.1　线性方程组的消元法 11.2　线性方程组解的结构 11.3　线性代数的应用实例 11.4　演示与实验十 ? 基本要求 ? 理解线性方程组解的概念。 ? 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。 ? 理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。 ?理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用行初等变换求线性方程组的通解的方法，会用特解及相应的导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。 ? 重点难点 重点： ?线性方程组的解的理论与求解方法。 ? 11.1 线性方程组的消元法 　　用消元法解线性方程组的具体做法是：对方程组反复施行初等变换，化为阶梯形方程组，然后从阶梯形方程组中看出原方程组是有惟一解，无穷多解，无解。这种方法称为高斯消元法。 ??? 上一章中，我们研究了用克拉默法则和逆矩阵求线性方程组的解。它要求方程组必须是n个未知量和n个方程的线性方程组，而且系数行列式不等于零。对于未知量个数和线性方程组的个数不相等，或者相等但系数行列式为零时，上一章的两种方法将无能为力。 　　设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组 　 ?其中系数a ij，常数b j 都是已知数，x i是未知量(也称为未知数)。当右端常数项b1,b2 , …, b m不全为0 时，称方程组(11.1.13)为非齐次线性方程组；当b1=b2= … =b m= 0时，即 (11.1.13) 　 ?称为齐次线性方程组。 (2) 　　由n个数k1, k2, …, k n组成的一个有序数组( k1, k2, …, k n )，如果将它们依次代入方程组(11.1.13)中的x1,x2, …,x n后，(11.1.13)中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组(k1, k2, …, k n)为方程组(11.1.13)的一个解。显然由x1=0, x2=0, …, x n=0 组成的有序数组(0, 0, …, 0)是齐次线性方程组(2)的一个解，称之为齐次线性方程组(2)的无解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 　　非齐次线性方程组(1)的矩阵表示形式为：可用矩阵形式表示为???? ???????????????????? ? AX = b? 称A为方程组(1)的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。 　　将系数矩阵A 和常数矩阵B放在一起构成的矩阵 　　 称为方程组(1)的增广矩阵。??? 齐次线性方程组(2)的矩阵表示形式为：AX = O?? (11.1.20) 。 定理11.1　　线性方程组(11.1.13)有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r(A)=r(B).对于方程组(11.1.14)中，若b=(0，0，…，0)T，则方程组为 AX=O，?? (11.1.20) 称为齐次线性方程组。 定理11.2 　　齐次方程组(11.1.20)一定有解：若r(A)=n则只有零解；它有非零解的充要条件是r(A)＜n。 由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数：(1) 当m＜n 时，r(A)≤m＜n，此时方程组(11.1.20)一定有非零解，即齐次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； (2) 当m=n 时，方程组(11.1.20)有非零解的充要条件是它的系数行列式det A=0 (3) 当m=n且r(A)=n 时，此时系数矩阵的行列式det A≠0，故方程组(11.1.20)只有零解； (4) 当m＞n 时，此时r(A)≤n，故存在方程组(11.1.20)的同解方程组，使“m≤n”。 　　在10.3.2中我们给出了两个特殊的矩阵——列向量和行向量，为了讨论方便用小写的希腊字母a，β，…表示，而对于n元线性方程组(11.1.13)，每一个方程的系数都可以看成一个n维行向量，即α i=(ai1，ai2，…，a in) (i=1，2，…，m)，共有m个n维行向量a1，a2，…，am，叫做系数矩阵的行向量组。 每个未知数的系数构成一个列向量 共有n个列向量，称为系数矩阵m 维列向量组。相应地，方程组(11.1.13)的常数项也可以表为一个m 维列向量： 可见，线性方程组(11.1.13)与n+1个m 维列向量组β1，β2…，β n，β之间是一一对应的。可用向量组表示方程组。若方程组有解，即存在x1,x2,…,x n，使得β=x1β1+x2β2+…+x nβ n成立，此时称β是向量组β1,β2,…,β n的线性组合。 ? ?1