P类问题就是指那些计算机比较容易算出答案的问题。
NP类问题就是指那些已知答案以后计算机可以比较容易地验证答案的问题。

当谈论NP-hard问题时，可以使用旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem，TSP）作为一个通俗易懂的例子。

NPhard：
旅行推销员问题的描述如下：假设有一个推销员，他需要访问N个城市并在每个城市销售产品。他想找到一条路线，使得他从一个城市出发，经过每个城市一次，最后回到出发的城市，并且总路程最短。

这个问题可以表示为一个图，其中每个城市是图中的一个节点，每两个城市之间的道路是图中的一条边，每条边都有一个距离。旅行推销员的任务是找到一条经过所有城市的路径，使得路径上各段的距离之和最小。

现在，TSP问题是NP-hard的一个例子。这意味着，如果你能**找到一个快速的方法来解决TSP问题，那么你也能找到一个快速的方法来解决所有NP问题。**因为TSP是一个经典的组合优化问题，通常情况下，随着城市数量的增加，找到最优解的时间会呈指数增长，因此TSP被认为是一个非常困难的问题。

NP：
给定一组城市和每两个城市之间的距离，以及一个特定的距离值D，问题是要确定是否存在一条路径，使得推销员可以访问每个城市一次，然后回到出发的城市，并且路径的总长度不超过D。

这个问题是一个NP问题，因为如果你有一个候选路径，你可以在多项式时间内验证它是否满足上述条件。然而，找到最优解（最短路径）通常需要指数时间，因此TSP的判定问题是NP问题的一个例子。

对于上述问题的描述，你可以在多项式时间内验证一个解的正确性，因为验证过程的时间复杂度是与问题规模（城市的数量）成多项式关系的。这是因为：

验证路径的总长度：为了验证一条路径是否满足总长度不超过D的条件，你只需要对路径上的每一段距离进行累加，然后与D进行比较。这一过程只需要线性时间，即与城市数量成线性关系。

验证每个城市是否被访问一次：你可以使用一个列表或集合来跟踪已经访问过的城市。在路径上遍历每个城市时，你可以检查它是否已经在列表或集合中。这一过程也只需要线性时间，与城市数量成线性关系。

因此，验证一个解的正确性的整个过程可以在多项式时间内完成，时间复杂度是多项式级别的，这符合NP问题的定义。所以，这个问题是一个NP问题。

如果任何一个NP问题都可以在多项式时间内归约（通过一种有效的转换方法）到这个问题，那么这个问题是NPhard问题。
如果你能够解决改问题，你就能在多项式时间内解决所有的NP问题。

NP问题是NP-hard问题的子集：所有NP问题都可以被认为是NP-hard问题，因为它们本身可以在多项式时间内验证解。所以，NP问题是NP-hard问题的一个特例。
NP-hard问题不一定是NP问题：NP-hard问题包括了那些不一定在NP类中的问题，但它们至少和NP问题一样难解，或者更难。这些问题的解决难度可能远远超出了NP问题的范围。