在进入正式话题之前需要引入四个概念：稳态误差、终值定理、幅角条件和系统稳定的充要条件。
稳态误差：系统达到稳定状态后，系统的实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差。
终值定理：设有连续函数$f(t)$，当t趋于无穷时，$f(t)$的极限存在，则有

其中。$F(s)$是$f(t)$经过拉普拉斯变换后的函数，即

幅角条件
  零点到根的夹角和与极点到根的夹角和是 $180°$ 的倍数。$\phi$表示零点，$\theta$表示极点

系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点位于$s$的左半平面。对于某个系统的传递函数的极点为 $p$₁ 和 $p$₂ ，它们都在实轴上,即 p₁ $=$ $-$$a$ , p₂ $=$ $-$$b$ ($a$ 、$b$均为常数)对该系统一个单位冲激信号，于是系统的响应为

当 $p$₁ $<$ $0$ , $p$₂ $<$ $0$ 时

  说明这个系统是收敛的，也就是说这个系统可以稳定。

当 $p$₁ 与 $p$₂ 有一个大于$0$ 时

  说明这个系统是发散的，也就是说这个系统无法达到稳定。
当 $p$₁ 与 $p$₂ 并没有在实轴上，即 p₁ $=$ $-$$a$ $+$ $b$$i$ , p₂ $=$ $-$$a$ $-$$b$$i$ ,此时有

在经过拉普拉斯逆变换，得

  正弦函数是等幅振荡函数，而 $e$^(-at) 会随 $t$ 得增大而减小 ，最终趋向于$0$，故而 $X(t)$ 是一个振荡衰减函数，最终仍会趋向于 $0$。图像大概是这个样子

如果 p₁ $=$ $a$ $+$ $bi$ , p₂ $=a-bi$ ,此时有

  此时该函数时振荡发散的，是不稳定的，图像就是上图从右往左看。

  进入正式话题，在做实际工程或者学习自动控制原理的时候，PID控制经常被提起，大部分工程中涉及控制基本都是PID，那么PID到底是什么？它为什么可以做控制使用？又是如何控制的呢？所谓PID就是比例积分微分控制，下面我们就对$3$种控制稍做分析。

比例控制

  对于如下比例控制系统，输入是$R(s)$,输出是$X(s)$，

有

于是系统的闭环传递函数为

  由这个传递函数可知极点$p=(-1-$ K_p $)/a$,我们知道，当 $p$位于 $s$ 的左半平面时系统才会稳定，也就是说 K_p $>$ $-1$ 时系统才会稳定。
  我们给系统一个输入一个目标值，即 $r(t)=r$, 于是

则

根据中值定理，有

那么稳态误差为

  由上式可知，$K$_p 趋向于无穷大时，$e$_ss 趋向于 $0$，但实际工程中，$K$_p 不可能取太大，否则超调量会非常大（一阶系统除外），如果超过了控制器的输出范围，那也就没有意义了，但是在控制器的输出范围内，Kp又不会太大，所以稳态误差还是消除不了，故而一般不单独使用比例控制。

举个实际的例子：
  对于系统：

  通过以上的推理，该系统在 $K$_p $>$ $-1$ 时才会稳定，那就在simulink中仿真一下，把输入设置为$10$，示波器中的黄线代表目标值，蓝线代表输出值：
$K$_p $=$ $-$ $2$ 时，系统结构如下

输出曲线如下

  由图可以看出，输出值已经跑飞了，系统不可能会稳定下来。
看看 $K$_p $=$ $2$ 时的情况

  这时候系统已经稳定了，但是稳态误差很大。
再看看 $K$_p $=$ 100 的情况

  此时稳态误差已经很小了，可以忽略不计了。但是此时的 $K$_p 已经非常大了，如果系统此时输出为 $9$ ，那么偏差就为 $1$，比例控制输出为 $100$，对于PWM调节的话，占空比最大就是$100$$\%$，很明显这是不符合实际应用的。当然控制器的输出我们可以不当做占空比直接使用，比如在单片机的PWM的配置过程中，令计数值为$1000$才代表$100$$\%$占空比，那么比例控制输出$100$，对应PWM占空比也才$10$$\%$，看上去很合理，也符合实际应用，这样一来，系统的调节时间就会变长，同样我们也可以理解为此时 $K$_p 还较小。所以比例控制一般不单独使用。

积分控制

  上面我们研究了比例控制器，他不能消除稳态误差，所以需要设计新的控制器$C(s)$，系统结构框图如下：

求得系统传递函数

  我们同样令$r(t)=r$ ,拉普拉斯变换后， $R(s)=r/s$,于是有

  我们的目标是消除稳态误差，即 $e$_ss $=$ $0$

继续推导

  这个 $C(s)$不就是积分嘛，$K$_i 就是积分增益。我们来验证一下，还是拿前面的系统

设置 $K$_p $=$ $2$ , $K$_i $=$ $1$,看看比例控制与积分控制的效果

  黄色的直线表示目标值，蓝色的线是比例控制，橙色线是积分控制。由图可以看出，积分控制很明显的消除了稳态误差，但是积分控制的调节时间却比比例控制要长很多，那将比例控制与积分控制放在一起，同时作用，效果又是怎样的？

更改系统框图

  最上面一个闭环是比例控制，第二个是积分控制，最下面一个是比例积分控制，为方便对比我们稍稍做下参数调整，将比例积分控制的 $K$_i 增加到 $2$，看看效果

  这条绿色的线就是比例积分控制，其余三条不变。由图可知，比例积分控制不仅吸取了比例控制的快速响应并稳定特点，还吸取了积分控制能消除稳态误差的特点，所以比例积分控制的有点明显胜于比例控制。

引入微分控制

  设一个二阶系统的一对根为 $p$₁ $=-a+bi$ , $p$₂ $=-a-bi$,对该系统输入一个单位冲激信号，那么该系统的响应为

经过拉普拉斯逆变换后，得

  我们知道这个函数得曲线是振荡衰减直至到$0$，也就是说这个系统是稳定的。我们的目标是让系统更快速稳定，也就是加快系统的收敛速度，也就是$-a$ 越小，系统的收敛的速度才会越快，减小 $-a$ 也就是改变根轨迹，让根左移。我们以实例来说明：
设有系统的开环传递函数为

  该系统有$2$个极点,$\phi$₁$=$ $0$,$\phi$₂$=$ $-2$,没有零点，渐近线交点$\sigma$_a$=$$-1$,与实轴得交角为$90°$，根轨迹如下

那么所有的根都将在实部为$-1$这条竖线上，我们要让系统快速衰减，也就是让根左移，并且越左越好，我们就让他移到实部为$-2$得这条竖线上，为便于计算，我们设这个根为$k=-2+2\surd 3i$。

根据幅角条件

得

这也就是说，$k=-2+2\surd 3i$不在原根轨迹上，如果要使这个根满足幅角条件，或者说改变原根轨迹使得$k$在新的根轨迹上，该怎么办呢？那就加个30°，也就是加个零点嘛，如图

通过计算，补偿的30°这个零点为$-8$,那么这个新的控制器不就是$H(s)=s+8$,这不就是微分控制和比例控制吗，即$PD$控制，这里就把微分控制引进来了，我们可以仿真一下

  这个结构中，上面一个闭环是$PD$控制，下面一个就是$P$控制，$Kp$ $=8$,得到得输出响应

蓝色的线表示$PD$控制,橙黄色得线表示$P$控制，可以清楚得看到$PD$控制得超调要小的多，收敛的速度也明显比比例控制快很多。我们在修改修改参数，将$K$_i $=2.9$,看看效果

很明显，现在的超调已经变得很小了，收敛速度更快。对于微分控制，在实际应用中，不会拿微分控制单独做一个控制器，因为微分控制对高频干扰十分敏感，比如在系统中存在这样一个干扰：$D(t)=0.01sin(100t)$，它的幅值很小，频率很高，一旦遇到微分控制，于是$D(t)$对$t$求导，此时 $D$¹(t)=$cos(100t)$,赋值被放大了100倍，所以微分控制在很多时候并不被使用，$PI$控制被广泛应用。