基于双线性插值的图像旋转原理及MATLAB实现（非自带函数）

1.图像旋转的原理

1.1.旋转矩阵

旋转一幅图像（假设这幅图像大小是矩形的），当然应该从像素点（pixels）开始，在直角坐标系中，对点 $x0=[a0b0]x_0=\begin{bmatrix}a_0\\b_0\\ \end{bmatrix}$ 逆时针旋转角度 $θ\theta$ 到 $x1=[a1b1]x_1=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\ \end{bmatrix}$ 的变换公式为
$x1=[cosθ−sinθsinθcosθ]x0x_1=\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix}x_0$
那么对图像上的每个点调用这个旋转公式，将旧图像像素点的RGB值搬移到新图像像素点，就可以将图像旋转到任意位置。
但是问题来了，显示屏的像素点是有限的，这意味着显示在显示屏上的像素点坐标必须是整数，旋转过后的图像的每个像素点坐标难免有非整数的情况，那么这种情况下我们怎么处理呢？
我们不妨假设逆时针旋转 $θ\theta$ 旋转后的图形上所有的像素点都是整点，对于旋转后的图形的每个像素点 $x_1$ ，求旋转前图形的对应像素点的坐标 $x_0$ ，取 $ω=−θ\omega=-\theta$ 为逆旋转角度，则旋转后的像素点和旋转前的像素点的对应关系为：
$x0=[cosω−sinωsinωcosω]x1x_0=\begin{bmatrix}cos\omega & -sin\omega \\ sin\omega & cos\omega\\ \end{bmatrix}x_1$
此时 $x_0$ 不一定为整点， $x_0$ 的像素值需要做一定的近似。近似的方法有最近邻插值、双线性插值等等，在这里我们就介绍比较实用且不是很复杂的双线性插值，该插值方法不会产生明显失真现象。
对于像素点的旋转坐标函数编写如下：
①坐标旋转变换函数：rot.m

function y=rot(p,angle)
%p=[x,y]为角度制
angle=angle*pi/180;%角度制输入进行计算
y=[cos(angle) -sin(angle);sin(angle) cos(angle)]*p';
end

1.2.双线性插值

对于x和y坐标非整数的非整点 $x_p$ ，假设它周围的四个整点坐标分别为 $x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$ （构成一个矩形）。假设第一维度是x坐标，第二维度是y坐标。则 $x_{11}(1)=x_{21}(1)≤x_p(1)≤x_{12}(1)=x_{22}(1)$
$x_{11}(2)=x_{12}(2)≥x_p(2)≥x_{21}(2)=x_{22}(2)$
显然，即使 $x_p$ 为整点，仍然存在这样的四个点 $x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$ 使得上式成立。
在下图中，P为非整点，存在4个整点 $Q_{12},Q_{11},Q_{22},Q_{21}$ 将P点包围在其中，设纵向比例系数 $β=y−y2y1−y2\color{blue}\beta=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}$ ，横向比例系数 $α=x−x1x2−x1\color{blue}\alpha=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ 颜色函数 $F (P)$ 在四个整点处的值分比为 $F_{12},F_{11},F_{22},F_{21}$ ，则P点的函数值
$FP=β[(1−α)F11+αF21]+(1−β)[(1−α)F12+αF22]F_P=\beta[(1-\alpha)F_{11}+\alpha F_{21}]+(1-\beta)[(1-\alpha)F_{12}+\alpha F_{22}]$ 写成矩阵的形式即为：
$FP=[1−αα][F11F12F21F22][β1−β]F_P=\begin{bmatrix}1-\alpha & \alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} \\[2ex] F_{21} & F_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta \\[2ex] 1-\beta \end{bmatrix}$
在这里插入图片描述
对于灰度图像， $F (P)$ 是一维函数，对于RGB图像， $F(P)=[FR(P)FG(P)FB(P)]F(P)=\begin{bmatrix}F_R(P) \\F_G(P) \\ F_B(P) \end{bmatrix}$
由于该公式较为复杂，可以单独编写双线性插值函数，输入为一个任意点坐标，和图像每个点的像素；输出为该点进行双线性插值后的颜色函数值。但需要主要的是，若给采集的4个周围整点，有其中一个超出了图像边界，考虑到图像边界一般为白色，则以白色为替代。检测点是否在画布内只需要条件判断语句就够了。
②检测是否在画布内的判断程序：isinrect.m

function y=isinrect(plt,rect)
if plt(1)>=rect(1) && plt(1)<=rect(2) && plt(2)>=rect(3) && plt(2)<=rect(4)y=true;
elsey=false;
end

③双线性插值函数：linear_interp.m

function y=linear_interp(p,img)%p为需要双线性插值的点坐标（向量）x=p(1);y=p(2);m=size(img,1);n=size(img,2);x1=floor(x);x2=ceil(x);y1=floor(y);y2=ceil(y);%[x,y]四周的四个整点left=x-x1;%距左边线距离bottom=y-y1;%距底线距离plt=[x1,y2;x2,y2;x1,y2;x2,y2];img_rect=[1,m,1,n];%原图像的矩形框pix_rect=zeros(1,4,3);for t=1:4if isinrect(plt(t,:),img_rect)for color=1:3pix_rect(1,t,color)=img(plt(t,1),plt(t,2),color);endelsepix_rect(1,t,:)=255;%背景色为白色endendpixels=zeros(1,3);%保存该点的三原色的三个像素pix_rect=reshape(pix_rect,2,2,3);for color=1:3pixels(color)=[bottom,1-bottom]*pix_rect(:,:,color)*[1-left;left];%双线性像素插值endy=pixels;
end

1.3.像素点匹配

假设图像的点都是整点的情况下，新图像是一个旋转后的矩形，此时需要给新图像定界使得新图像能够包括在一个旋转角度为0°大矩形中。
在这里插入图片描述
$left=max(x_1,x_2,x_3,x_4),right=min(x_1,x_2,x_3,x_4)$
$top=max(y_1,y_2,y_3,y_4),bottom=min(y_1,y_2,y_3,y_4)$

filename='足球.bmp';%文件的完整路径名
img=imread(filename);%导入图像
% subplot(121)
% imshow(img)%展示原图像
m=size(img,1);n=size(img,2);%统计图像的长和宽
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四个顶点坐标
for t=1:4plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三个顶点进行旋转坐标变换
end
%新的四个点坐标的x和y边界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%获取新的图像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%创建新画布
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));

定界完成后，只需要求出新图像定界后每个像素点对应的原图像像素点坐标，并按照双线性插值的方法取得像素值，对应到新图像点中，即可求出每个新图像点的像素值，旋转步骤即完成。要注意的是，如果双线性插值遇到了原图像界限外的点，为保证程序不出错，可以直接将界限外的点置为0（相当于非常弱的边缘虚化效果），或者直接将最外层边界整点进行最近邻插值（这种分段算法实现会略微麻烦）。主函数文件代码如下：
④主函数文件：img_process.m

function img_process(rot_angle)
close all
filename='足球.bmp';%文件的完整路径名
img=imread(filename);%导入图像
figure
imshow(img)%展示原图像
m=size(img,1);n=size(img,2);%统计图像的长和宽
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四个顶点坐标
for t=1:4plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三个顶点进行旋转坐标变换
end
%新的四个点坐标的x和y边界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%获取新的图像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%创建新画布
for i=1:Mfor j=1:Ninit_plt=rot([i-1+left,j-1+bottom],-rot_angle);%新图像对应原图像的坐标init_plt=init_plt+1;%还原到Matlab坐标系new_img(i,j,:)=linear_interp(init_plt,img);end
end
figure
imshow(uint8(new_img))%展示旋转后的新图像（底色为白色）