二元函数泰勒公式例题_高等数学期末总复习 DAY 5. 罗尔定理证明题 拉格朗日、柯西中值定理 泰勒公式及麦克劳林公式...

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DAY 5.

  • DAY 5.
    • 1.罗尔定理
    • 2.拉格朗日定理
    • 3.柯西中值定理
    • 4.泰勒公式及麦克劳林公式

1.罗尔定理

罗尔定理描述如下:

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

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例题1

若方程

有一个正根,
,试证方程
必有一个小于
正根。

解:

因为原方程有一个

的正根,所以有

= 0

而:

由罗尔定理可知:必存在一

使得

所以

时原式证毕

2.拉格朗日定理

拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广

如果函数

满足:1) 在闭区间[a,b]上连续;2) 在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点$xi(a<xi

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例题2

设 a > b >0, n>1 证明$nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n

解: 设

由拉格朗日定理可得:

=

因为:

所以

且 n > 1

可得:

3.柯西中值定理

柯西中值定理是前两者的进一步推广,期末不常考,因为用柯西定理证明的题,用罗尔和拉格朗日都可以证明出来

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柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的

看成
,
看成
获得两个参数方程

得到:

例题3

设 b>a>0 若

在【a,b】上连续,在(a,b)上可导,求证
使得

解:

由柯西中值定理可知:

证毕

4.泰勒公式及麦克劳林公式

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当泰勒公式其中的

的时候就变成了麦克劳林公式

有两个余项:

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要记住一些常用函数的泰勒公式

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