LeetCode-287 寻找重复数 二分法

287. 寻找重复数

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有 一个重复的整数 ，找出 这个重复的数 。

你设计的解决方案必须不修改数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2
示例 2：

输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3
示例 3：

输入：nums = [1,1]
输出：1
示例 4：

输入：nums = [1,1,2]
输出：1

提示：

1 <= n <= 105
nums.length == n + 1
1 <= nums[i] <= n
nums 中 只有一个整数 出现 两次或多次 ，其余整数均只出现 一次

进阶：

如何证明 nums 中至少存在一个重复的数字?
你可以设计一个线性级时间复杂度 O(n) 的解决方案吗？

对于寻找重复数这种题，常规做法的话如哈希都可以做，但是本题的要求是不修改数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。注意到本题给出了一个常规寻找重复数题目没有的条件：其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n）

二分法

记要找的重复数为 target，$cnt(i)$ 表示给定数组 $nums$ 中不大于 $i$ 的数字个数。比如 $cnt(3)$ 就是 $nums$ 中1, 2, 3的个数之和，显然 $cnt(i)$ 是递增的。以数组 {1, 2, 3, 3, 4 ,5} 为例：

$i$	1	2	3	4	5
$cnt(i)$	1	2	4	5	6

根据上面提到的额外的条件，我们可以发现这样一个规律：对于小于 target 的数 i，$cnt(i)=i$​，对于大于等于 target 的数 i，$cnt(i)>i$​ 。因此，我们要找的重复数 target，就是最小的使得 $cnt(i)>i$​ 的数字 i。可以看到，上例中 target 为3，当 $i<3$ 时，$cnt(i)=i$，当 $i\ge 3$ 时，$cnt(i)>i$。

而我们回顾以下常规的二分法，是这样的：对于一个递增（有序）的序列 $nums$ 和 给定值 target，我们要找到最小的使得 $nums[i]>target$ 的数字 i。

这就是这个题为什么可以使用二分法，递增序列当然是使用二分法的前提，我们用 $cnt(i)$ 来合理地构造；然后根据具体的要找的条件来更新结果就好了。

常规二分法代码（返回索引）：

int bin_search(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int l = 0, r = n-1;int mid;while (l<=r) {mid = (l+r) >> 1;if (nums[mid] < target) l = mid + 1;else if (nums[mid] > target)r = mid - 1;elsebreak;}return mid;
}

本题代码（C++）：

class Solution {
public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int l = 0, r = n-1, ans = -1;while (l<=r) {int mid = (l+r) >> 1;int cnt = 0;for (int i=0; i<n; ++i) {				// 计算cnt(mid)，这里的mid就是我们上面公式中的icnt += nums[i] <= mid ? 1 : 0;}if (cnt<=mid) {				// 比较cnt(mid)和midl = mid + 1;}else {								// 若cnt(mid)>mid，则mid有可能是target：所有满足cnt(mid)>mid的值中最小的mid值即为target（即代码中的ans）ans = mid;r = mid - 1;}}return ans;}
};

双指针

我们将数组转换为链表，即将下标 $n$ 和数 $nums[n]$ 建立一个映射关系 f(n)，将 $n$ 作为下一个元素 $f(n)$ 的志向。数组元素的取值范围在 $[1,n]$ 之间，而数组长度为 $n+1$ ，所以按照数组元素取值一定不可能越界。然后利用链表判环的快慢指针方法找到相同元素。

详见：https://leetcode.cn/problems/find-the-duplicate-number/solution/287xun-zhao-zhong-fu-shu-by-kirsche/

class Solution {
public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {int fast = 0, slow = 0;while (true) {fast = nums[nums[fast]];slow = nums[slow];if (slow == fast) break;}fast = 0;while (true) {slow = nums[slow];fast = nums[fast];if (slow == fast) return fast;}}
};