梯度下降法和牛顿法计算开根号

本文将介绍如何不调包，只能使用加减乘除法实现对根号x的求解。主要介绍梯度下降和牛顿法者两种方法，并给出 C++ 实现。

梯度下降法

思路/步骤

1. 转化问题，将 $\sqrt{x}$ 的求解转化为最小化目标函数：$L(t)$，$L(t)=(t^2-x)$ ，当 $L$ 趋近于 0 时，$t$ 就是我们想要的结果；
2. 迭代寻找使得 $L$ 变小的 $t$ ，
3. 最终得到足够小的 $L$ 时的 $t$ ，即使得 $L\to 0$， 得到结果 $t$
4. 求解 $L$ 的极小值，就是导数为 0 的点

如何迭代

OK，现在的问题就是要如何进行迭代，从而得到尽可能小的 $L$，为此，我们要使得随着每一次迭代中 $t$ 的变化，$L$ 都朝着更小的方向变化一个合适的步长。

确定如何迭代，无非就是要确定每次迭代的方向和步长。

最自然的想法，我们使得 $t$ 朝政府两个方向都移动一个很小的步长，然后比一比，看哪个的 $L$ 更小了，就向哪个方向移动。即：

• 若 $L(t+\Delta t)<L(t)$ ，则 $t_1=t+\Delta t$；
• 若 $L(t-\Delta t)<L(t)$ ，则 $t_1=t-\Delta t$；

注意这里的 $\Delta t$ 应当是一个大于零的无穷小数，即 $0^{+}$ 。

我们接下来再对上面的式子进行一点变化：

• 若 $L(t+\Delta t)-L(t)<0$ ，则 $t_1=t+\Delta t$；
• 若 $L(t)-L(t-\Delta t)>0$ ，则 $t_1=t-\Delta t$；

将这两个式子写在一起：
$$t_1=t-\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{|L(t+\Delta t)-L(t)|}\cdot \Delta t$$
这里的 $\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{|L(t+\Delta t)-L(t)|}$ 用来指示正负号。再进行一点变形：
$$\begin{array}{rl}{t}_1& =t-\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{|L(t+\Delta t)-L(t)|}\cdot \Delta t\\ & =t-\frac{\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}}{|\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}|}\cdot \Delta t\\ & =t-\frac{L(t+\Delta t)}{\Delta t}\frac{\Delta t}{|\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}|}\\ & =t-\alpha L^{\prime }(t),\alpha =\frac{\Delta t}{|\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}|}\to 0^{+},L^{\prime }(t)=\frac{L(t+\Delta t)-L(t)}{\Delta t}\end{array}$$

1. 当a取无穷小时，虽然一定保证下降，但效率太慢

2. 日常设计的很多函数，可以允许使用相对大一些的步长，比如 $\alpha =0.01$。理由是，若步长大了，出现跳过合适位置，使得 $L(t1)>L(t0)$。再下一个时刻，依旧可能跳回来使得 $L(t2)<L(t1)$

3. 大的步长不能保证一定收敛，但是大部分时候是可以很好的工作，也因此，步长 $\alpha$，我们称之为学习率，通常会给一个相对小的数字，但不会太小。

4. 总之，学习率一般需要在不同的模型任务中手动调试。

代码

float sqrt_grad_decent(float x) {float t = x / 2;float L = (t * t - x) * (t * t - x);float alpha = 0.001;while ( L > 1e-5 ) {float delta = 2 * (t * t - x) * 2 * t;t = t - alpha * delta;L = (t * t - x) * (t * t - x);printf("t=%f\n", t);}return t;
}

总结

1. 梯度下降法是通过观察局部，决定如何调整的算法。如果函数具有多个极值，则可能陷入局部极值，此时初始点的选择直接影响收敛结果

2. 大的步长在一定程度上可能跨过局部极值，但也可能造成震荡导致不收敛

3. 步长的选择，需要根据函数的特性来找到合适取值，若导数特别大时，则步长取小，导数小时，步长可大。否则很容易造成收敛问题

4. 存在一类算法，可以在一定范围内搜索一个合适步长，使得每一次迭代更加稳定

牛顿法1

梯度下降法常用语求解函数极小值的情况，而牛顿法常用于求解函数零点的情况，即 $L=0$ 时方程的根。

思路/步骤

1. 转化问题，将求解 $\sqrt{x}$ 转换为求解 $L(t)=t^2-x=0$ 时的根，即函数的零点
2. 迭代寻找 $t$

如何迭代

用曲线在 $t_0$ 处切线与 $x$ 轴的交点作为 $t_1$ ，来逼近函数的零点。图/牛顿法

切线斜率，同样可以用导数来表示 。

考虑两个坐标系：原坐标系 $o1$ ，新坐标系 $o2$ ，其中 $o2$ 以 $o1$ 中的 $(x_1,f(x_1))$ 为原点。则在 $o2$ 坐标系中，下图红色切线可表示为：
$$f_{o2}(x)=f^{\prime }(x_1)x$$
则该切线与 $x$ 轴交点：
$$f_{o2}(x_2)=f^{\prime }(x_1)(x_2-x_1)=-f(x_1)$$
则有：
$$\begin{gathered} x_2-x_1=-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)} \\ {x}_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)} \end{gathered}$$

代码

我们经过上一小节已经知道迭代的方法：
$$t_1=t-\frac{L(t)}{L^{\prime }(t)}$$
代码：

float sqrt_newton1(float x) {float t = x / 2;float L = t * t - x;while ( abs(L) > 1e-5 ) {float dL = 2 * t;t = t - L / dL;L = t * t - x;}return t;
}

牛顿法2

思路

既然牛顿法是对函数求零点，那我们能不能对函数的导函数求零点呢？这样就可以得到函数的极值了。

与梯度下降法的目标函数 $L(t)=(t^2-x)$ 是相同的，而区别在于，迭代式不同 $t_1=t-\frac{f^{\prime }(t)}{f^{\prime \prime }(t)}$，并且其中步长（学习率）为 1。

代码

float sqrt_newton2(float x) {float t = x / 2;float L = (t * t - x) * (t * t - x);while ( L > 1e-5 ) {float dL = 2 * (t * t - x) * 2 * t;float d2L = 12 * t * t - 4 * x;t = t - dL / d2L;L = (t * t - x) * (t * t - x);}return t;
}

Ref

1. 牛顿法