1 数据位置 (Measures of location)
对于数据集: $7,9,9,10,10,11,11,12,12,12,13,14,14,15,16$

• 计算加权平均数，其中权重为: $2,1,3,2,1,1,2,2,1,3,2,1,1,1,1$
• 计算截断均值, 去除最高和最低的两个值。
• 计算众数，中位数

2 数据散布（Measures of spread/dispersion)
使用上述数据集，计算四分位差

3 随机变量的类型和概率分布
考虑一个实验，其中一个包包含 5 个红球和 3 个绿球。随机从中抽取 2 个球，不放回。定义一 个随机变量 $X$ 为抽取的红球数量。列出 $X$ 的所有可能值，并为每个值计算概率。

4 理论概率分布之常见的离散型分布
一个生产线上，产品的不合格率为 0.05 。现在从生产线上随机选择10个产品。使用二项分布 计算恰好有 2 个不合格产品的概率。

5 假设学生的智商（IQ）分数分布是标准正态分布，平均值为100，标准差为15。计算以下情况的概率：

一个随机选择的学生的IQ分数高于125的概率。
一个随机选择的学生的IQ分数在85到115之间的概率。
一个随机选择的学生的IQ分数低于70或高于130的概率。

答案

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1. 数据位置 (Measures of location)
   答案:

• 加权平均数 $=11.25$
• 截断均值 $=11.69$

2. 数据散布 (Measures of spread/dispersion)
   答案:

• 四分位差 $=3.5$
• 方差 $=5.69$
• 标准差 $=2.39$
• 众数为 $=12$，中位数也为 $=12$。

3. 随机变量的类型和概率分布
   考虑这样一个实验，从一个包含 5 个红球和 3 个绿球的袋子中随机抽取 2 个球，并不放回。我们 定义一个随机变量 $X$ 来表示抽取的红球数量。我们可以为 $X$ 的每个可能值计算概率。

$P(X=0)$ : 抽取两个球都是绿色的。
这个概率可以这样计算:
首先，第一个球是绿色的概率是 $\frac{3}{8}$ 。
接着，第二个球也是绿色的概率是 $\frac{2}{7}$ (因为已经有一个绿球被抽出，所以只剩下 2 个绿球和 7 个球总数)。
因此，两次事件的联合概率为: $P(X=0)=\frac{3}{8}\times \frac{2}{7}=\frac{6}{56}$ 。
$P(X=1)$ : 抽取的其中一个球是红色，另一个是绿色。
这个概率可以分为两种情况:
第一种情况是首先抽到一个红球，然后抽到一个绿球。概率为 $\frac{5}{8}\times \frac{3}{7}$ 。
第二种情况是首先抽到一个绿球，然后抽到一个红球。概率为 $\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}$ 。
把这两种情况的概率加起来，我们得到: $P(X=1)=\frac{5}{8}\times \frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{30}{56}$ 。
$P(X=2)$ : 抽取两个球都是红色的。
这个概率可以这样计算:
首先，第一个球是红色的概率是 $\frac{5}{8}$ 。
接着，第二个球也是红色的概率是 $\frac{4}{7}$ (因为已经有一个红球被抽出，所以只剩下 4 个红球和 7 个球总数)。
因此，两次事件的联合概率为: $P(X=2)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$ 。

4. 二项分布
   假设我们在生产线上随机选择了10个产品，而每个产品都是独立检查的。因此，每个产品不 合格的概率都是 0.05 ，合格的概率则是 0.95 。
   现在，我们想要知道恰好有 2 个产品不合格的概率。我们可以使用二项分布公式来计算这一概 率:
   $$P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$
   其中:

• $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ 是组合公式，表示从 $\mathrm{n}$ 个中选择 $\mathrm{k}$ 个的方法数。它的公式是:
  $$\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
• $n$ 是试验次数，此处为 10 。
• $k$ 是成功的次数，此处为 2 。
• $p$ 是一次试验成功的概率，此处为 0.05 。
  将上述值代入公式，我们可以计算得到恰好有 2 个不合格产品的概率。

5. 正态分布
   对于正态分布的随机变量 $X$ ，我们通常使用以下的公式来计算其概率:
   $$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)$$
   其中， $P(X\le b)$ 和 $P(X\le a)$ 可以从正态分布的累积分布函数 (CDF) 中查找。
   对于标准正态分布，均值 $\mu =0$ ，标准差 $\sigma =1$ 。但在这个例子中，我们的分布不是标准 的，所以我们需要先将其转换为标准正态分布。这可以通过以下的公式实现:
   $$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$
   其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。

计算一个随机选择的学生的IQ分数高于125的概率:
首先, 我们将 $IQ=125$ 转换为标准正态变量:
$$Z=\frac{125-100}{15}$$
接着，我们查找标准正态分布表 (或使用计算工具) 来找到 $Z$ 对应的概率 $P(Z)$ 。 最后，我们使用 $P(X>125)=1-P(Z)$ 来得到所求的概率。

计算一个随机选择的学生的IQ分数在85到115之间的概率:
我们首先将 $\mid Q=85$ 和 $\mid \mathrm{Q}=115$ 都转换为标准正态变量:
$$\begin{array}{rl}& Z_1=\frac{85-100}{15}\\ & Z_2=\frac{115-100}{15}\end{array}$$
然后，我们查找标准正态分布表来找到 $Z_1$ 和 $Z_2$ 对应的概率 $P\left(Z_1\right)$ 和 $P\left(Z_2\right)$ 。 最后，我们使用上面的公式来计算 $P(85\le X\le 115)=P\left(Z_2\right)-P\left(Z_1\right)$ 。

计算一个随机选择的学生的IQ分数低于70或高于 130 的概率:
我们首先将 $1\mathrm{Q}=70$ 和 $\mid \mathrm{Q}=130$ 都转换为标准正态变量:
$$\begin{array}{rl}& Z_1=\frac{70-100}{15}\\ & Z_2=\frac{130-100}{15}\end{array}$$
然后，我们查找标准正态分布表来找到 $Z_1$ 和 $Z_2$ 对应的概率 $P\left(Z_1\right)$ 和 $P\left(Z_2\right)$ 。 最后，我们使用以下的公式来得到所求的概率:
$$P(X<70\text{ or }X>130)=P\left(Z_1\right)+\left(1-P\left(Z_2\right)\right)$$

基于正态分布的计算结果如下：

一个随机选择的学生的IQ分数高于125的概率是 0.0478 (保留四位小数)。

一个随机选择的学生的IQ分数在85到115之间的概率是 0.6827。

一个随机选择的学生的IQ分数低于70或高于130的概率是 0.0455。