[2018年最新整理]DTFT变换

信号和系统的分析方法有两种 时域分析方法 频率分析方法 序列的频域分析 z变换 序列的傅里叶变换(离散时间傅里叶变换) 模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义 ： 例1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的DTFT 解: 例2 设 X(e jω)=DTFT［x(n)］, 求 x(-n)、x*(n)、x*(-n)的傅里叶变换。 解： 2.7 序列傅里叶变换的性质 1. DTFT的周期性 2. 线性 5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω) 证明： 6. 频域卷积定理 设 y(n)=x(n)·h(n) ， 2.9 DTFT的对称性 若 xe (n)=x*e (-n) 称xe(n)为共轭对称序列。 xo (n)=-x*o (-n) 称xo(n)为共轭反对称序列。 x*(-n)=xe*(-n)+xo*(-n)=xe(n)-xo(n) 也可将 x(n)表示成实部和虚部的形式： x(n)=xr(n)+jxi(n) x*(n)=xr(n)-jxi(n) 则 xr(n)=(1/2)[x(n)+ x*(n)] xi(n)=(1/2j)[x(n)- x*(n)] 同理对于频域函数 X(ejω) Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω) =-X*o(e-jω) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) X*(e-jω)=Xe*(e-jω)+Xo*(e-jω) 也可将X(ejω)写成实部和虚部的形式： X(ejω)= XR(ejω) + jXI(ejω) X*(ejω)= XR(ejω) -jXI(ejω) 则： XR(ejω)=(1/2)[X(ejω)+ X*(ejω)] XI(ejω)=(1/2j)[X(ejω)- X*(ejω)] 或 jXI(ejω)=(1/2)[X(ejω)- X*(ejω)] (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) x*(n)=xr(n)-jxi(n) 则 xr(n)=(1/2)[x(n)+ x*(n)] xi(n)=(1/2j)[x(n)- x*(n)] 将上式进行DTFT， 得到 而 (b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n)， x*(-n)=xe(-n)-xo(-n) 若序列h(n)是实序列， 则其DTFT只有共轭对称部分He(ejω)， 共轭反对称部分为零。 H(ejω)=He(ejω)= He*(e-jω) H(ejω)=He(ejω)= HR(ejω)+j HI(ejω) He*(e-jω)=HR(e-jω)-j HI(e-jω) HR(ejω)=HR(e-jω) HI(ejω)=-HI(e-jω) 2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应 2.10.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω) 设h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程， 2.10.2由系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性： (1) 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆