Catalan数应用

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … Catalan数是许多计数问题的最终形式。

原理

• 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
  $h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)$

• 另类递推公式:

  1. $$h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)$$
  2. $$x = \dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1} \quad(n=0,1,2,\cdots)$$
  3. $$h(n)=\binom {2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\quad(n=0,1,2,\cdots)$$

公式中$\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}$

卡特兰数经典应用

括号化

矩阵链乘： $f(n)=a_1×a_2×a_3×\cdots×a_n$，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

思路：可以这样考虑，首先通过括号化，将公式分成两个部分，然后分别对两个部分进行括号化。比如分成$(a_1)×(a_2×a_3×\cdots×a_n)$，然后再对$(a_1)$和$(a_2×a_3×\cdots×a_n)$分别括号化；又如分成$(a_1×a_2)×(a_3×\cdots×a_n)$，然后再对$(a_1×a_2)$和 $(a_3×\cdots×a_n)$括号化;以此类推，得公式

$$f(n) = f(1)f(n-1)+f(2)f(n-2)+f(3)f(n-3)+\cdots+f(n-1)f(1)$$

f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5,结合递归式，不难发现f(n)=h(n-1)。

买票找零

原题描述如下：

2n个人排队买票，其中n个人持50元，n个人持100元。每张票50元，且一人只买一张票。初始时售票处没有零钱找零。请问这2n个人一共有多少种排队顺序，不至于使售票处找不开钱？

思路：队伍的序号标为0,1,…,2n-1,并把50元看作左括号，100元看作右括号，合法序列即括号能完成配对的序列。对于一个合法的序列，第0个一定是左括号，它必然与某个右括号配对，记其位置为k。那么从1到k-1、k+1到2n-1也分别是两个合法序列。那么，k必然是奇数（1到k-1一共有偶数个），设k=2i+1。那么剩余括号的合法序列数为f(2i)*f(2n-2i-2)个。取i=0到n-1累加即可。

$$f(2n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(2i)f(2n-2i-2)\quad(n\geq1)$$

另$f(0)=0$,$\binom{0}{0}=0$,即可得

$$f(2n)=\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}\quad(n\geq1)$$

公式推导如下，出自从《编程之美》买票找零问题说起，娓娓道来卡特兰数——兼爬坑指

构造生成函数:

$$g(x)=h_0x^2+h_2x^4+\cdots+h_{2n-2}x^{2n}+h_{2n}x^{2n+2}+\cdots$$
其中 $h_{2n}=f(2n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(2i)f(2n-2i-2)\quad(n\geq1)$

生成函数平方：

$$\begin{eqnarray} [g(x)]^2 &=& h_0x^2+h_2x^4+\cdots+h_{2n-2}x^{2n}+h_{2n}x^{2n+2}+\cdots \\ &=& h_0^2x^4+(h_0h_2+h_2h_0)x^6+\cdots+(h_0h_{2n-2}+h_2h_{2n-4}+\cdots+h_{2n-2}h_0)x^{2n+2}+\cdots \end{eqnarray}$$

则：

$$[g(x)]^2-g(x)=h_0^2x^4-h_2x^4-h_0x^2$$

对于题目,假设$h_0=f(0)=0$,则根据递推公式后续项全为0，不合题意，那么$h_0=f(0)=1$,可以推出$h_2=f(2)=1$,带入公式，则有:

$$[g(x)]^2-g(x)+x_2=0$$

解得$g(x) = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 - 4x^2}}{2}$
根据生成函数的各项系数为非负，舍去其一，在根据

$$(1+z)^{1/2 } = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n\times2^{2n-1}}\binom{2n-2}{n-1}z^n$$

可以得到

$$g(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}x^{2n}$$

则

$$h_{2n} = \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$$

组合数与阶乘计算

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-import operator'''factorial function:阶乘函数;也可用math.factorial'''
def factorial(n):return reduce(operator.mul, range(1, int(n+1)));'''combinational calculation:组合计算'''
def comb(n, m):return reduce(operator.mul, range(n-m+1, n+1)) / factorial(m)'''calculation on the arrangement:排列组合计算'''
def arr(n, m):return factorial(n) / factorial(n-m)if __name__ == "__main__":print factorial(10)print comb(6,3)print arr(10,7)

参考：

• http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/p/3016878.html