动态规划--换零钱

题目描述

想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法

递归解法

#include<iostream>
using namespace std; const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1};  int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{  if (n == 0)   //跳出递归的条件return 1;  if (n < 0 || m == 0)  return 0; return (coinExchangeRecursion(n, m-1) + coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m));  //分为两种情况:换取当前面值的情况 + 没有换取当前面值的情况
}int main()
{int num=coinExchangeRecursion(N, 4); cout<<num<<endl; return 0; }

非递归解法

#include<iostream>
using namespace std; const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1};  int coinExchange(int n)   //非递归实现
{  int i, j;  //i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++){  for (j = dimes[i]; j <= n; j++)   //求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，//对应着上面的递归方式：arr[j]就是coinExchangeRecursion(n, m-1)，//arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)arr[j] += arr[j-dimes[i]];  }  return arr[n];  
}  int main()
{int num2=coinExchange(N); cout<<num2<<endl; return 0;
}

下面写法更容易理解一些：

int coinExchange(int n)   //非递归实现
{  int i, j;  for(i=1; i<=n; i++){for (j=0; j<sizeof(dimes)/sizeof(int); i++){if (i>=dimes[j])arr[i] += arr[i-dimes[j]]}}return arr[n];  
}

方法总结

动态规划的经典之处把大问题分解成几个小问题解决
递归算法:100元的换法:零钱中有此面值与零钱中没此面值的两种情况，注意递归结束的条件
非递归算法:换100的零钱,那么先从换1、2、……的零钱算起,这个算法,最好转换成台阶走法的问题来理解
仔细推理可以看出arr[j] = arr[j-dimes[0]] + arr[j-dimes[1]] + arr[j-dimes[2]] + arr[j-dimes[3]] (j-dimes[i]>=0)

#include<iostream>
#include<vector>     //std::vector
#include <algorithm> //std::count
using namespace std; const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1}; 
vector<int> vv; int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{  if (n == 0) {int i;for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++) {int cnt = count(vv.begin(), vv.end(), dimes[i]);cout << dimes[i] << ": " << cnt << "\t";}cout  << endl;return 1;  }   //跳出递归的条件if (n < 0 || m == 0)  return 0;vv.push_back(dimes[m-1]);int yes = coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m);vv.pop_back();int no = coinExchangeRecursion(n, m-1);return (no+yes);  //分为两种情况，如果没有换当前硬币，那么是多少？加上，如果换了当前硬币，总值减少，此时又是多少种兑换方法？
}int coinExchange(int n)   //非递归实现
{  int i, j;  for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)   //i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次{  for (j = dimes[i]; j <= n; j++)   //求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，//对应着上面的递归方式：arr[j]就是 coinExchangeRecursion(n, m-1)，//arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)arr[j] += arr[j-dimes[i]];  }  return arr[n];  
}  int main(int argc, char *argv[])
{int num=coinExchangeRecursion(N, 4); cout<<num<<endl; int num2=coinExchange(N); cout<<num2<<endl; return 0; 
}