傅里叶变换原理解析

震动频率：节拍数/秒
矢量旋转频率：圈/秒

傅里叶频域就是：音频信号波形以不同的频率旋转形成的图形的质心的坐标变化，即（frequency, (x,y)）
（其中实数为x轴坐标，虚部为 y轴坐标）

为什么傅里叶变换可以分离不同频率的信号？
因为，当对复合信号进行傅里叶变换时，当信号波形在轴上以不同的频率旋转时，比如该信号由a,b,c三个频率的正弦波信号复合而成，当复合信号的波形的旋转频率为a,b,c三个频率的时候，旋转图形的质心的横坐标达到峰值（极大值），所以我们只要在旋转得到的（频率，坐标）图像中找到峰值所在的频率就可以得到所有复合信号的频率。

傅里叶反变换的原理：
就是将（频率，坐标）这样的二维波形，进行傅里叶变换（矢量旋转），就可以得到原始信号。

傅里叶变换公式的原理：

• 旋转的矢量：对应的是一个复数
  • 每秒旋转一周的速度，这个旋转矢量表达式为： $e^{(2\ast \pi \ast i\ast t)}$
  • 我们再加上旋转的频率f，表示这个矢量每秒实际上旋转几周
  • 那么，这个旋转矢量的表达式为 $e^{(2\ast \pi \ast i\ast t\ast f)}$
  • 傅里叶变换的矢量旋转方向时顺时针的，所以，我们需要在指数上加一个负号：$e^{-(2\ast \pi \ast i\ast t\ast f)}$
• 为了表示我们的原始信号以这样的频率进行旋转，我们可以直接用我们的信号与这样的旋转矢量表达式相乘：
  • g(t)(时域信号)
  • $g(t)\times e^{-(2\ast \pi \ast i\ast t\ast f)}$
• 接下来就是计算旋转波形图的质心，我们可以进行一个估计：对图形进行抽样，选取n个样本点，我们将样本点的横坐标加起来，再除以样本点数量n（基本的中心点计算方法）
  • 以这种思想，为了更加精确，我们可以将计算平均值改变为计算时间点上的积分：
    $${\int }_{t_1}^{t_2}f(g(t)\times e^{-(2\ast \pi \ast t\ast i\ast f)})dt$$

如果信号的持续时间很长，那么旋转矢量的模长就会被放大